1樓：大臉阿望
第8題：
第9題：
方法一：（冪平均不等式）
利用不等式： ,可得
即： ，再利用 ，得 ,於是 .綜上，證畢。
方法二：（柯西不等式）
由柯西不等式得：
即： .
再利用柯西不等式： 可得 .其餘同法一。
方法三：（琴生不等式）
設 ,可以驗證其二次導數在x>0時恆正，故為凹函式，利用琴生不等式得： ,即：
由於 在x>0時單調遞增，我們用法一或法二的方法證明 ，於是 ,於是.證畢。
第10題：
左側不等式是顯然的，因為 恆正，所以數列是n遞增的，n=2時不等號成立則不等號恆成立。
n=2，3時易直接驗證不等式成立，n大於等於4時有：.
2樓：sea
8.注意到原不等式 （用條件化掉分母的平方）依Cauchy不等式有： （或稱為權方和不等式）故只需證明：
事實上這是顯然成立的，由常用不等式
再令x=bc，y=ac，z=ab，即證
等號當且僅當a=b=c=1時成立。
9.類似的，依Cauchy不等式有：
又由柯西不等式有：
等號當且僅當a=b=c=1時成立。
這就是所要證明的。
10.先證右邊：注意到：
於是有再證左邊，這個就比較顯然了，注意到：
題主應該是高中生，補充一點點高數的基礎知識：事實上，交錯級數 ，由函式 的麥克勞林展開式立得。
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