1樓：xf3227
知道的有兩種證明，畫圖「證明」和用指示函式(隨機變數)。這裡我來說明一下用指示函式證明。
根據馬爾科夫不等式的條件， 是乙個非負的隨機變數，即
令事件或者縮寫作
指示函式 當 ， 當
第一步，首先證明
證明：i. 當 ，則 ，又因 ，所以
ii. 當 ，則 ，又根據事件 的定義，我們有 ，即
結合以上兩種情況，可知
第二步，證明馬爾科夫不等式
證明：根據第一步證明，我們有 ，同樣，不等式兩邊的期望也滿足該不等式，即
然後，觀察不等式左邊，我們有
所以，即，
得證。純看證明容易迷失，可其實上，馬爾可夫不等式說的是一件很顯然的事情。比方說吧，小明打靶 100 槍，積分 500，即平均 5 環。
但是小明說呢：其中 70%，也就是 70 槍都是 8 環朝上。咱用屁股想想都知道 70 乘以 8 就是 560 分了，已經高出 500 了！
而且打靶成績又不可能出現負分（這裡對應非負隨機數），所以他鐵定是扯淡了。
換言之，把小明的例子套到定理裡：小明 8 環朝上的概率，小於等於期望 5 環除以 8 環，即 62.5%。
不等式取等號的時候，小明不光要保證以 62.5% 的概率剛好打在 8 環，還要保證剩餘的 37.5% 全部脫靶得零分 XD。
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