1樓：酥脆的小餅乾
很明顯要用調整法。首先考慮n>=2k的情形。
首先題目裡的多元函式f(X1,X2,..,Xk-1,1-X1-X2..-Xk)定義域是乙個閉集，此外容易說明f是乙個連續函式。因此f一定存在最大值。
注意到f(Xi,...,Xi+k)<=max。因此我們通過反證法證明：
當f取得最大值時，對於所有的i，j滿足Xi,Xj不為0，一定有|i-j|<=k-1（在mod n的意義下）.因此不為零的Xi至多有k個，是連續的k項。由均值不等式容易證明當f取到最大值時，一定有f<=(1/k)^k，令X1=..
=Xk=1/k即可。
然後考慮2k>n>k的情形。似乎非常困難，先把坑佔了。
2樓：理呆哥
這個問題我在直覺上總結如下：
1、設向量 ，滿足等式約束 ,及不等式約束 。也就是說所有滿足上述約束的 構成 中的凸集 。
2、依題意有函式 ， 中的每個分量 在這個函式中都是等價的（對稱性），各種基本不等式可以說明這種函式在 上是個凹函式，也就是 在 上存在（可達的）最大值
3、我們顯然可以用Kuhn-Tucker condition去嚴格計算 的極值問題。
4、當不等式約束中的某些等號條件，比如 ，沒有被啟用，那麼基於函式 的對稱性， 取極值時，每個 應該是相等的，且取 。於是 。
5、當不等式約束（）中的某些等號條件，比如 ，被啟用，那麼剩餘不為零的 個分量 0" eeimg="1"/>。將轉化為這些不為零分量的「對稱性」函式 。此時 的極值將在這些不為零分量相等時（也就是都等於 時）取得，為 。
6、在Kuhn-Tucker condition中，不等式約束中的某些等號條件被啟用的條件為
，或 。也就是說，當這個啟用條件滿足的時候， 。不滿足時，
3樓：JubItAr
這個應該是乙個很經典的問題，但我不確定它是不是完全解決了。
關於這個問題的部分證明，參看：
關於 的特例,我們可以得到:對於非負實數 ,有.利用這個結論,可解決2007中國女子數學奧林匹克的一道試題以及2020全國高中數學聯賽的一道試題.
的情況應該是近幾年中國TST的考題.
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