1樓：硫酸羊
左右消去律均成立的逆否命題是x≠y時，ax≠ay且xa≠ya。
因此，有限群中互不相等(這是因為集合中的元素有互異性)的a1，a2，...，an，經二元運算得到的aia1，aia2，...，aian也是互不相等的(a1ai，a2ai，...
，anai同理)
再由有限半群二元運算的封閉性，這些aia1，aia2，...，aian就會分別等於a1，a2，...，an中的某個元素
接下來就可以利用上面的結論，證明左單位元的存在性和唯一性，以及左逆元的存在性，由群的單邊定義，就可以得出G是群的結論了
當然，用群的除法定義似乎更簡單一點...r(x)
2樓：渴飲匈奴血
設 G= 為有限半群，考慮G左乘x_1得到的集合x_1G=，
由半群的定義，它是G的子集。再由消去律，上述表述中的x_1x_1,…,x_1x_n
是兩兩不同的，從而x_1G與G元素個數相同且有限，因此兩者相等。同理Gx_1=G。
進一步存在k使得
x_1x_k=x_1。
下證x_k是單位元。事實上任取x_i屬於G，存在x_j使得x_i=x_jx_1，
進一步有
x_ix_k=x_jx_1x_k=x_jx_1=x_i，即x_k是右單位元，同理可證它是左單位元。最後再次利用x_1G=G=Gx_1即可證明逆元的存在性。
證畢利用類似的方法，可以嘗試證明下述命題：
有限無零因子環一定是除環。
事實上，還有更強的結論：
有限無零因子環、整環、除環都一定是域。
如何證明每個有限除環都是可交換的？
break outss 看起來沒人寫關於skolem noether定理相關的wedderburn定理的證明這裡補一個吧 有限除環D其中心k為有限域將D視為k上線性空間其維數dimD d 其任意極大子域的維數皆為d 由於k是有限域故而D的所有極大子域皆為互相同構的有限域由skolem noether...
如何證明有限群實共軛類的數量等於不可約實特徵標的數量？
break outss 似乎有人給了基於矩陣的證明，這裡提供一個特徵標的版本。首先對於不可約特徵標 那麼有 也是一個不可約特徵標。那麼考慮第一正交關係就會有實特徵標個數 接下來，我們注意到 再將上述和式重新排列並利用第二正交關係，可得到 為實共軛類個數。綜上，二者數量相等。 ZCC 沒記錯的話這個定...
如何證明線性空間V不能被其有限個真子空間覆蓋？
格羅卜學數學 首先這裡得注意一下，這個結果只在基域 是無限域的時候成立.如果 是有限域，很容易給出反例.填不滿定理 是無限域，是有限維 向量空間,是 的真子空間，那麼 證明 對 用數學歸納法.當 結論顯然成立.假如當 結論成立.當 時,由於 故存在 情形1.此時已經得證.情形2.此時由於 故存在 情...
如何證明有限交換群中若階最大的元素g的階為m，則任意元素x有x m e
劉醉白 好像回答的差不多了，我就說一個這個結論的應用吧，這個可以用來證明域的乘群的有限子群是迴圈群，進一步地說明有限域的乘群是迴圈群，從而從抽代的角度證明了初等數論中模p的既約剩餘系中原根的存在性。證明參考 劉醉白 請問以下抽象代數問題如何解決orz？ ZnqbuZ 引理設 且 若 則存在 使得 引...
有限群線性表示正交性的證明有沒有更直接的理解方式？
弦很 我當時學的時候也是很討厭搗鼓元素。我更喜歡這裡講的方法，更清晰，更有結構性 moonlightmath 我覺得這裡更像是一個手段，由schur引理知，如果是不可約表示 單模 的話那麼模同態只有同構或0，這時候就會想著去把任意一個線性對映 誘導 出一個模同態來，那麼就會用這種 平均 的方法。這樣...