1樓：格羅卜學數學
首先這裡得注意一下，這個結果只在基域 是無限域的時候成立.
如果 是有限域，很容易給出反例.
[填不滿定理]是無限域， 是有限維 -向量空間, 是 的真子空間，那麼 .
[證明]對 用數學歸納法.
當 , 結論顯然成立.
假如當 , 結論成立.
當 時,
由於 ，故存在 , .
情形1.. 此時已經得證.
情形2.. 此時由於 ，故存在 , .
情形2-1.. 此時已經得證.
情形2-2..
考察形如 的向量. 當 時有
如果 和 同時成立，那麼 , 由此
所以我們得到了最多有乙個 使得 .
由於 是無限域，證畢.
填不滿定理的乙個應用是證明有限可分擴張必然為單擴張.參見
格羅卜：域論和Galois理論(4): 可分擴張
2樓：拼勃向上
我的想法就是用不完全歸納法，但是證明有誤。問題的核心在於證明存在乙個元素x，x不屬於有限的真子空間的並集。為此，我們先證明兩個真子空間的並集的情況。
設A為線性空間，B1,B2為A線性真子空間。
若B1包含於B2，則存在x2，x2屬於A，x2不屬於B2，且x2不屬於B1，故x2不屬於B1並B2。因此B1並B2為A的真子空間。
若B1不包含B2，但是B2包含B1，我們同理可知B1並B2也為A的真子空間。
若B1既不包含B2，也不被B2包含。我們有：
存在x1屬於B1，x1不屬於B2。存在x2屬於B2，x2不屬於B1。於是x1+x2不屬於B1並B2。反之則矛盾。因而B1與B2的並還是真子集。(注意此時不是真子空間)
用歸納法即可推理出有限個的情況。要點是構造乙個不屬於真子空間的並的元素。
設n=k-1時，無法覆蓋。
則n=k時，若｛Ni｝能覆蓋空間V，則存在xi，xi不屬於Ni。則對於∑xi而言，∑xi屬於V，必然屬於某個真子集Nj。此時∑xi屬於Nj，xj不屬於Nj，則必有∑xi-xj不屬於Nj。
則∑xi-yj屬於｛Ni｝-Nj。此時必有n=k-1時，可以覆蓋，矛盾。故n=k時，也無法覆蓋。證畢。
希爾伯特空間範疇Hilb比線性空間範疇Vect多了什麼樣的結構？
瀟湘 瀉藥。已經有很好的回答了。題目應糾正一下，0 1d不需要extended就有定義很好的TFT了，應該是每乙個0 1d oriented TFT等價於乙個finite dimension vector space。另外，extended TFT 是從2 1d開始，其bordisms由2 cate...
如何理解線性空間中 線性 的含義？
線性二字就是可以線性疊加的意思，線性代數，就是研究態疊加原理的數學或者說具有線性疊加性的現象或模式。態疊加原理和相對性原理是物理學的乙個最要緊的兩個原理。 破魔之箭 線性其實主要是兩條，乙個是乘性，乙個是加性。假設我們在研究某個空間內的元素，如果空間內任何元素伸縮之後仍在該空間內，那麼這個空間內的元...
如何證明n維空間中線性超平面的VC維是n 1？
別說了我選C 正好在寫模式識別的作業，整理一下其他兩位答主 GPU召喚師 pathriabeale 的答案吧，方便後來的人檢視。設線性分類函式為 其中 均為增廣後的d 1維向量。假設樣本數量為n，空間維數為d，則增廣後的樣本矩陣X為 d 1 n維矩陣，標籤向量y為n 1維向量，且 當n d 1時，對...