1樓：sumeragi693
其實在射影幾何中，是先有了極線的幾何定義（也就是你最後提到的ABPQ成調和點列），從幾何定義中再推出極線的方程。
設平面內有兩點 ， 。點 分有向線段PQ所成比為μ，則根據定比分點座標公式：
當μ變化時，可取得直線PQ上除了Q以外的所有點（特別地，μ=-1時取得直線PQ上的無窮遠點）。所以以μ作為參變數，把M的座標代入圓錐曲線的一般方程： ，可以得到乙個關於μ的一元二次方程。
它的根所對應的點M既在PQ（除Q外）上，又在圓錐曲線上，即PQ與圓錐曲線的交點。所以根據根的個數可以知道PQ與圓錐曲線的位置關係：有兩個不等實根時，表示PQ與圓錐曲線相交；有兩個相等實根時，表示PQ與圓錐曲線相切；沒有實根時，表示PQ與圓錐曲線相離。
因為無論μ取多少，代入定比分點座標公式中都無法取得點Q，所以Q一定不在圓錐曲線上，即上式的二次項係數一定不為零。
當P在圓錐曲線上時，可以發現方程的常數項為0，並且此時的μ=0。要求過P的切線，當且僅當上述方程有兩個相等的實根，即另一根也為0。根據韋達定理推出一次項係數為0，即：
把Q的座標改為 ，而P的座標改為 ，就得到過P的切線方程為：
當然，用隱函式求導的方式也可以得到切線方程。而對於橢圓，還可以利用仿射變換成圓，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離恰好等於半徑來證明直線是切線的方法。
接下來考慮P不在圓錐曲線上的情形。若M分有向線段PQ所成比為μ，N分有向線段PQ所成比為λ，即 ，則這4點PQMN的交比定義為 。交比為-1時稱這4點為調和點列，若只考慮線段長度，則有 。
在射影幾何中關於極線是這樣定義的：
若P不在圓錐曲線上，過P作直線與圓錐曲線交於M、N兩點，則在直線MN上有且只有一點Q，使得PQMN構成調和點列，並稱Q是P關於圓錐曲線的調和共軛點。
點P關於圓錐曲線的調和共軛點Q的軌跡是一條直線，這條直線稱為點P的極線，而點P被稱為極線的極點。
與求切線時的方法相同，把PQ與圓錐曲線聯立得到關於μ的一元二次方程，因為PQ與圓錐曲線有兩個交點M、N，所以方程有兩個不等實根，並且這兩個實根恰好就是M、N分有向線段PQ所成的比μ、λ。而因為PQMN構成調和點列，所以 ，或μ+λ=0。根據韋達定理可知，方程的一次項係數為0，同樣得到
再把Q的座標改為 ，而P的座標改為 ，就得到點P的極線方程為：
可以看出，方程
會隨著P是否在圓錐曲線上而具有不同的意義。P在圓錐曲線上時，該方程表示過P的切線。P不在曲線上時，該方程表示P的極線。而既然有了統一的代數形式，不妨就把直線
叫做P的極線，只不過這時候「極線」這一名詞本身具有的意義（極線上一點Q與極點P關於圓錐曲線調和共軛）就消失了。
你的其他結論需要借助完全四點形的調和性質才能說明，這裡只給結論。設四邊形ABCD內接於圓錐曲線，兩組對邊的交點分別為M、N，對角線交點為P，那麼MNP構成乙個叫「自極三角形」的圖形，即這個三角形中每個頂點的極線恰好是該頂點的對邊（所在直線）。
2樓：曹立
這個，其實知乎上有人證明過的，極點極線不僅是圓錐曲線適用，很多其他的幾何圖形也適用，具體參見http://
怎麼證明圓錐曲線的光學特性？
cvgmt 只證明橢圓的光學性質。需要知道橢圓 的切線方程為 需要知道橢圓的切線除了切點，都在橢圓外，也就是要滿足 1 eeimg 1 需要知道橢圓外的點，到兩焦點的距離之和要大於 不好意思，用數學方法證明的話，求切線繞不開求導，就算用求極限的方法，實際上還是委婉的求導而已。以下為正文，我從頭說起。...
高中的時候你是怎麼攻克圓錐曲線的？
薄言 牢記圓錐曲線公式，懂得用多種演算法，比如換成勾股定理 向量乘積或者其它等量代換，第二小問要大膽的寫，套老師說的公式，分數總比不寫這些的高吧。 洛綾 我高中的時候，大概一半靠配極的結論和曲線系方法，另一半靠暴算吧當然暴算也是有技巧的，或者說，需要有一些觀點。就比如說最常見的點差法，仔細想想就應該...
圓錐曲線有沒有什麼優美直觀的方法
Arthur 如果是為了對付高中考試 高考的話建議別總想著用一些幾何知識簡化運算等。考試的圓錐曲線大題的標準答案一定不會是無法接受的計算量。老老實實聯立永遠是最簡單最容易得分的方法。如果你是想擴充知識面深入了解圓錐曲線的話當我沒說。可以學習齊次化聯立這種技巧類的.也可以學習射影幾何 曲線系等.也可以...