1樓：王箏
很抱歉，我確實也沒有找到射影幾何的解釋。我個人覺得找到的可能性不大，因為內積跟射影幾何顯得八竿子打不著（期待我能像以前一樣被 @唐瓏珂 打臉）。不過我找到乙個新的「幾乎純幾何的」證明，興許能看出些本質。
我們先引入一些線性代數裡的概念。這都是比較常見的概念，但是考慮到讀者可能是高中生，我們還是列一下定義。
考慮二維平面上的向量全體。我們稱 是乙個二次型，如果 . 我們稱 是個雙線性型，如果 . 雖然我是用座標寫出來的，但是這些定義都不依賴座標系的選取。
舉個例子，內積就是個雙線性型。對任何雙線性型B， 就是個二次型，因此歐氏距離就是個二次型。關於雙線性型，我們有著名的Riesz表示定理：
對任何雙線性型B，任何固定的向量v，存在唯一的向量u，使得對任何向量w，成立 . 換句話說，如果把雙線性型固定第乙個分量，看成關於第二個分量的函式，那麼可以寫成內積。雖然名字很高大上，這在二維其實是很顯然的定理。
最後給乙個可能僅適用於這篇回答的定義：取定常數C和向量v，我們稱形如 的函式 是仿射函式。根據Riesz表示定理，如果B是乙個雙線性型，向量v和常數C取定，那麼函式 也是仿射函式。
特別低，如果T是二維向量空間上的乙個線性變換，F是個仿射函式，那麼F(T(x))也是關於x的仿射函式。這個結論我們後面會用到。
我們先證明乙個引理，這個引理可能是這篇回答裡唯一乙個證明，所以也許能稍微揭示問題的本質。
引理給定乙個圓以及圓上一點P，設M是圓上的動點，v是向量PM所對應的單位向量。任給乙個二次型Q，則Q(v)是關於向量PM的仿射函式。
（這裡向量PM沒辦法取遍所有二維向量，所以嚴格起見應當寫成， 可以延拓為乙個仿射函式。後面類似的說法，含義是類似的，之後就不再重複了。）
雖然我很期望有乙個更幾何的證明，也許會更加本質，但是實際上代數證明也就一行，所以我也就不多想了。下面證明引理，證明真的很簡單，我圖都懶得畫了。。。
設圓心為O，以P為原點，PO為x軸建系。不妨設圓的直徑是1。此時，設 ，那麼容易計算得到 。設 ，那麼 ，證明完了。
下面證明原命題吧。本來寫證明應該正著寫的，但是考慮到這個答案的易懂性，我還是倒著寫吧。另外圖請參考題主的圖，這裡圖省事我就不畫了。
我們從結論出發。假設P是任何乙個點，如果我們希望找乙個點Q，滿足是常數，那麼利用QA=QP+PA，QB=QP+PB，我們就希望證明++是常數。設M是AB中點，因此我們只需要證明，是關於向量PM的仿射函式（*）。
（此處必須假設P不是橢圓中心O，否則的話PM就一直是零向量，這個命題也就沒有意義了。這從題主和另一位答主的答案中也可以看出來，因為如果P是原點，那麼分母就是零了。）
處理橢圓的常用技巧是把橢圓拉成圓。雖然這可能是高中裡面的禁術，但是這確實非常好用，而且我想對現在的高中生也算常見了吧，所以這裡也就不多解釋了。方便起見，我們用加一撇的方式表達在圓座標系裡面對應的點。
在拉成圓的過程中，原本橢圓座標系中的內積現在變成了圓座標系裡面的乙個平平無奇的雙線性型。根據Riesz表示定理，要證明橢圓座標系中的乙個函式是仿射函式，只需要證明對應的函式在圓座標系中也是仿射函式即可。因此，為了證明（*），我們只需要證明乙個在圓座標系中的命題：
對任何雙線性型L，L(P'A',P'B')是關於向量P'M'的仿射函式（**）。
在圓裡，我們就有很多幾何性質可以用了。首先設v是線段A'B'對應的單位向量，那麼根據線性性，我們有L(P'A',P'B')=±|P'A'||P'B'|L(v,v)，正負號取決於P'的位置。此時D(v)=L(v,v)就是乙個二次型了。
根據圓冪定理，|P'A'|乘|P'B'|是常數。因此，我們只需要證明：對任何二次型D，D(v)是關於向量P'M'的仿射函式（***）。
到這裡終於可以用引理了。注意到在圓中，由於M'是弦中點，所以P'M'與O'M'垂直，因此M'點的軌跡是以O'P'為直徑的圓。注意到v也是P'M'對應的單位向量，因此根據引理，（***）成立，從而原命題成立。
2樓：姜很犟
假設橢圓的方程式是 b>0)" eeimg="1"/>，直線AB的方程式是 ，那麼A和B的座標就是
設 ，那麼 如果這個值為定值，則表示與k的取值無關，我們可以對k賦值，若干賦值的結果都應該相等，列方程，如果能夠確定u和v，則表示Q存在，如果不能確定u和v的值，Q是不存在的。
賦值k為0，1，-1，得到乙個關於u和v的方程組： ，解這個方程組，得 ，代回到 裡面，看看能不能把k消去，結果顯然！
仔細一看，發現上面根本沒有用到a>b的結論，因此不需要把點P限制在長軸上，大膽猜測，P可以在任意位置上，Q都存在。
假設 ，那麼 為定值
特殊情形是圓，此時P和Q會重合。對於射影幾何解釋，我暫時沒有，不過可以從射影變換的角度，去嘗試一下：把圓變換成橢圓的過程中，發生了什麼？
姜很犟：橢圓的平面幾何問題以及射影解釋
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