1樓：gtw
證明方法和@純粹的回答中的一樣，大致描述一下我的思路。
首先是rank=r再來看m，行秩等於列秩，所以可以假設前n-1行線性無關，這樣只考慮乙個(n-1)*n的矩陣就可以了。這種情況下，Cramer法則確定了只有乙個自由度，直接算就可以了。
PS：不過給定每個元素的上界，即使拋掉整數的限定，這行列式值的上界能改善到什麼程度呢，好奇.jpg。
2樓：純粹
設 各分量的絕對值不超過 , 且 . 求證: 存在 , 適合 , 且 , 其中 .
證明: 不妨設 可逆. 此時 .
於是我們自然地要考慮方程 , 其解向量恰為 , 這裡 . 根據眾所周知的Cramer法則, , 其中 由 將第 列 替換為 而得到. 可以預見, 即為所求, 其中 .
細節留給讀者; 不過為了完整性, 一些關鍵步驟可以修飾為下面的習題.
對於 , 回憶一下 , 藉此證明:
若 均為整數, 則 也是整數.
若 , 則 .
呃對了...還需要用到平凡的估計 .
(話說好像證出來乙個比原題稍微強一點的結論欸
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