1樓：天下無難課
如果兩個n階矩陣等價，它們必然同秩。如果它們對應的方程組有「基礎解系」，就是有無窮多解，那就意味著它們是不滿秩的。
如果不滿秩(r＜n)，則必然有基礎解系的秩(設為q)不為零，必有q=n-r。它們解空間的秩是一樣的，也就是基礎解系(指解空間的基)的數量是一樣的。但你不能說兩個方程組的解空間是一樣(重合)的。
以3維秩2矩陣為例。若A,B都是秩2的，則A,B各自可以張成的子空間是乙個「平面」。若是齊次方程組，則這兩個平面都是過原點的。
但過原點的兩個平面未必重合，它們之間可以有夾角的，對吧？
那麼，對於這兩個平面上的點，都有y=Ax或y=Bx的關係。若取y=0，成了齊次方程組，這時的非零解就都分布在或原點而與平面垂直的直線上(q=1的解空間)。
A組和B組的解空間都是直線，同秩q=1，兩者基礎解系的規模是一樣的，但基是不一樣的，由在各自基上形成的解空間也是不同方向的直線(雖然都過原點)。
只有在A,B重合的情況下，它們的解空間才是同一根直線。
基礎解系是解空間的基，矩陣等價，只能保證基的數量相同(解空間的秩相同)，但不能保證基相同，更不能保證解空間相同了。
所以，A,B雖為同秩，能使Ax=0成立的x不一定能使Bx=0成立，只是它們(解們)都被侷限在各自的直線形的空間中，受限制的程度是一樣的，心裡一樣的苦，是同情兄。
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