非齊次線性方程組通解的結構如何理解？

1樓：

本答案旨在幫助對代數學僅停留在國內普通工科《線性代數》教材的讀者加深對線性方程組，尤其是對各種性質的理解。本答案將盡量對同濟大學《線性代數》教材中出現的有關線性方程組的所有定理和性質進行解釋，但為了理解方便有時會採用不嚴謹的非術語描述。

考慮非齊次線性方程組和對應的齊次線性方程組。假設存在一組解滿足。令，假設任意的列向量均滿足。則對於任意的，均有

即對於任意的，均為非齊次線性方程組的解。

接下來將證明該結論與的選取無關。考慮兩個不等的列向量和均為的解，則有，故存在一使得。因此任意的總能被表示為的形式。

以上部分已經回答了題主的問題：任取非齊次線性方程組的解，將其與對應的齊次線性方程組的解相加，可以表示該非齊次線性方程組的全部解。根據上文，可見非齊次線性方程組的問題可以被簡單轉換為齊次線性方程組的問題，所以接下來重點考察齊次方程組的性質。

首先將元齊次線性方程組展開為

令表示行向量，則是全體組成的行向量組。意味著存在列向量使得與全部的內積均為0，即與個正交（或者說垂直）。

為滿足該條件，應該與向量組線性無關。這樣一來就對的性質有了要求，為了使有非零解，需要滿足一些性質。

的秩必然小於。

因為和是維向量，為了保證與全部的正交，向量組張成的線性空間的維度必然要小於。

若有解，則必然存在無窮多個解。

假設的秩為，則張成了維的線性空間。個都在乙個維的超平面上，而和這個超平面垂直。顯然有無窮多個並且它們互相成比例。如果為3，則，是非零的任意實數。

若的秩為，則的解集（解向量組）中最多有個向量線性無關。

個都在乙個維的超平面上，現任取乙個解與該超平面垂直，同時它與向量組一起都在乙個維的超平面上；再任取乙個和線性無關的解，與維的超平面垂直，並且向量組和一起都在乙個維的超平面上。以此類推，最少需要個就能與一起張成維的線性空間。此時如果再考慮其它的解，則它必然能被個和之前的個線性表示。

然而應該與向量組線性無關，所以它一定能被之前的個線性表示。這條性質可以被等價表示為若的秩為，則的解向量組秩為。

接下來考慮如何構造乙個代數式表示所有的解，這個代數式即是其通解。顯然，對齊次線性方程組的若干個解線性加和，得到的結果也是該方程組的解。根據性質若的秩為，則的解集（解向量組）中最多有個向量線性無關。

不難發現，如果的秩為，則只需要任取個線性無關的的解，即可用它們線性表示出全部的解。因此齊次線性方程的通解為

其中為任意實數，為線性無關的任意個解。

令表示矩陣的秩，表示向量組和向量組成的新的向量組。在這裡不加證明地給出乙個結論（因為證明寫著比較冗長，但其實非常簡單）：

元線性方程組無解的充分必要條件是。

根據上文，元齊次線性方程組若只有零解，則其係數矩陣的秩等於。在只有零解的情況下，的解是唯一的，所以

元線性方程組有唯一解的充分必要條件是。有無窮多解的充分必要條件是。

2樓：高手nba

有直觀理解，就看你能不能轉過這個彎。

你把課本使勁往前翻，翻到最開始解非齊次線性方程組的例子，你會發現通解加特解是非齊次線性方程組的解的固有性質，通解加特解不是證明出來的，是天生就存在的，是具有公理意義的，是不需要解釋和證明的。

承認了這個直觀，再去看另外兩個回答以提高姿勢水平，他們從邏輯上嚴格證明了通解加特解的普適性。

3樓：蔡二狗

其實我早就想說了，學習是乙個常態化的過程，三年未刷過題的我已經看不懂我當時寫的這個回答了。活到老學到老，溫故而知新，希望大家共勉。

2023年1月19日

你求非齊次方程組時，特解當中是你自己制定帶入的數啊，而需要的是通解，所以漏解了，這個時候就需要用乙個其次方程的通解來補充。

另外如果X=a是AX=B的乙個解，X=b是AX=0的解，那麼X=(a+b)代入方程AX中得

A(a+b)=Aa+Ab=B+0

所以a+b 也是非齊次方程組的解