1樓：
全部回答，沒有乙個嚴謹的！
你們這些只會微積分的人類，就知道假設連續性，有的甚至要假設函式可微，沒了連續性就啥都不會證了。下面是嚴謹的證明，睜大你們的24K鈦合金看清楚了。
既然 被寫進了積分號，那麼， 一定是區域性可積的。
固定 0" eeimg="1"/>，得到
在上式中令 趨於零，可知 是連續的。現在，將上式除以 ，得到在上式中令 趨於零，可知 是可導的，而且能得到因為右邊是連續函式，所以 是連續可導的。
都知道連續可導了，下面也無需老夫廢話了，你們這些小朋友自己把後續證明補充完整吧。
2樓：Scientific Electron
高中剛畢業，如有不對請指正
我有乙個想法，先把2a乘到右邊，兩邊直接對a求偏導，得f(x+a)+f(x-a)=2f(x)
也就等價於f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2]後面步驟與前面回答一致
3樓：凡夫俗子
有一位巨佬給出了解答，但是因為知乎最近編輯器的問題，正煩惱著，突然，那位先生看到了我的回答與文章，他確信，讓我來寫回答就沒有問題。那位先生真是非常地追求完美啊！通過簡單商量，決定讓我來寫回答，那位先生以幫助別人為樂，並無其他目的，甚至要求我不要告訴別人。
本人能力有限，在抄寫過程中若出現錯誤，還請讀者指正。
4樓：答疑貓
題目暗含了f是可積函式這一資訊
利用積分的絕對連續性，我們有
因此 所以f為連續函式
又因為令 ,那麼
這樣，我們得到了
由原函式存在定理，f是可導的，因此，我們對等式兩邊x進行求導,取x=0，有 ，因為y的任意性，所以f的導數為常數。
不利用f可導的條件，也可以證明結論，一般習題冊也有這類題目，不作贅述。
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