1樓：寒冰射手加火盆
用尤拉公式:
其中 是虛數單位,
令 ,有
使用指數乘法的性質,帶入尤拉公式
帶入尤拉公式並使用2年級學的乘法分配率
(合併一下實部與虛部的係數,易得)
由複數性質,兩個複數相等,則實部相等且虛部相等,故有且用復平面輔助記憶尤拉公式
如下圖,復平面是用虛軸 代替 軸的平面直角座標系,而單位複數 有兩種表示方式,
幅角形式直接記住, 以後上大學也會用到,
是複數與實軸的夾角.
是 在實軸的投影的長度, 是 在虛軸投影的長度,在復平面上覆數 可以表示為實軸投影向量+虛軸投影向量(平行四邊形法則),
故 ,因為是兩種方式表示的同乙個複數 ,故而有尤拉公式:
整個只需要記憶乙個 , 是複數與實軸的夾角我覺得這是最好記, 最容易推導的三角函式和公式了.
2樓：Huxley
按：三角函式有多種定義途徑。可以從冪級數出發定義三角函式：
此時顯然有導數關係：
以下證明基於上述基本關係，以免迴圈論證之嫌。
證明：令 ，則其各階導數：
也即：利用 Taylor 展開：證畢。
3樓：Snow
我們知道
容易發現 ,所以如果我們證明了複數 與 軸夾角 恒為x，那就意味著事實上 ，這就是我們所要證明的·。
於是我們可以得到 ，當然我們也可以選擇直接定義正余弦為上述式子。
故 於是
類似地，我們還可以得到
不過有趣的是正弦二倍角公式其實可以跳過求和公式的證明而給出，並且這很簡單，大概只用初中數學即可。
上圖的半徑為 的圓 中，
顯然 (這裡用全等易證)
將 與 軸夾角記作
於是 而
而這便是
4樓：
我看幾個回答都好複雜啊，不用那麼複雜的啊，高中講的時候應該都證過的。
所有的三角恒等變換都由 得來
而上式則由向量數量積得出。
那麼 sin 的只需加個 0.5π 即可
5樓：商政
可以考慮從點乘、叉乘的幾何意義來證明這類式子：點乘即為乙個向量到另外乙個向量的投影長度；叉乘的模即為兩個向量張成的四邊形面積。取任意單位圓的半徑作為兩個向量，計算點乘、叉乘即可～
6樓：
剛剛學過一點線性代數的小萌新來強答一下
警告：閱讀量大，且尚在施工
前言：什麼是角度？什麼是三角函式？先忘掉它們吧。
大家很容易使用一種比較直觀的理解，也就是弧度，來解釋什麼是角度。而弧度，也就是圓弧長。
可是很不巧，我不知道弧長是什麼。我甚至不知道什麼叫做角度。我更不知道什麼叫做角度相加。
我只知道什麼叫做向量。而且，以向量的方式來表現夾角，以及「夾角的相加」，可以更加直觀。
我們可以認為，正弦和余弦，是將兩個向量射為乙個實數的函式。為了易懂，我以漢字表達對映關係：
向量×向量 →實數
例如，我們以sin(a,b)或者sin來表示a和b兩個向量的夾角正弦。因為我不太方便打頂部箭頭，之後都以單個字母來表示向量，見諒。
需要注意的是，若無特定說明，這類雙變數函式的兩變數位置一旦互換，意義就不同。因此，兩個自變數的位置也是重要的，也是函式自變數結構的一部分。變數位置互換了以後，函式值有可能不變，有可能會變。
至於會發生什麼變化，現在我們不知道，這些都需要我們構造以後才能知道。
之後，我們可以將原先需要求證的公式定義為：
sin(a,c)=sin(a,b)cos(b,c)+sin(b,c)cos(a,b) 。大家可以稍微理解一下這樣表示的意義是什麼。
大家需要明白的是，現在我們對正弦或是余弦都一無所知，除了知道它們是關於兩個向量的二元函式以外。所以，如果你對於正余弦函式的理解仍然比較形象（一般而言，大部分高中數學及以下，以及部分大學線性代數的學習者，會處於這個階段。這是很正常的，大家一開始的理解往往是由形象出發，而由形象轉為抽象是必須的），請先忘記你對於正余弦函式的認識，忘掉你心中的那個直角座標系、直角三角形、單位圓。
我們需要根據一些更加簡單的東西來構造三角函式。當然，三角學的研究是兩千多年前就已經開始了的，那個時候的定義同樣是形象的，而且在現在的應用領域中三角函式也符合形象認識。因此，我們構造的三角函式最終也應當符合經典認識。
那現在讓我們開始。
一、什麼是向量
首先，我們要認識，什麼是向量。
請忘掉(1,2,3)這種多維有序陣列，或者「帶有方向和長度的量」這個定義，甚至是「乙個箭頭」這種影象。同時，也請忘掉「平行四邊形法則」這種看起來非常高大上的定則。雖然它確實是對的，但是不普遍，會限制你的思維。
對於什麼是向量，我先給出乙個形象的概括：一切滿足加法運算規則的物件都是向量。
有可能你要問，真的嗎？只要滿足加法運算規則就是向量嗎？難道實數也是向量？
當然。而且我要反過來問，滿足加法運算規則真的這麼容易麼？或者說，到底什麼是加法？
有可能你會說：加法就是把多個東西加合在一起變成乙個新的東西。
這個認識雖然比較樸素，但其實可以。我們可以逐步構建出加法到底是什麼。
「多個東西加合在一起變成乙個新的東西」，用更加工整的語言來說，加法可以認為是乙個多自變數對映，把幾個物件堆在一起轉化成乙個確定的結果。
條件1還記不記得我開頭的警告：三角函式的自變數如果互換位置，那麼意義不同？
這其實反映了，我們在描述乙個對映的時候，自變數的位置是乙個重要性質。自變數不同，對映結果會不會不同，我不知道，但肯定可以不同。甚至，例如乙個二元對映f，在不告訴你其他東西的情況下，你千萬不要覺得f(a,b)和f(b,a)有啥關係，它們可能根本就沒有任何關係。
但是，如果問你什麼是加和，我現在告訴你，如果不同東西相加，我先說a再說b，和先說b再說a，兩者得出的結果是不一樣的，你能不能接受？反正我是不能接受。
所以現在我就做乙個強行規定，如果乙個運算是加法，那麼把輸入的物件變換順序，輸入結果一定一樣。
也就是說，a+b=b+a
或者說f(a,b)=f(b,a)
這合不合適？合適得不得了。
這就是小學學過的交換律。不要笑，它非常重要。
條件2作為對映結果的物件應當仍然可以參與這樣一種「加法」。
也就是說，如果我們把那些可以參與加法的元素組成的集合稱為A
那麼我們若定義一種加法，它應該是這樣的對映：
A×A→A
也就是說，a加上b以後還可以再加上c還可以再加上d······
而且，應該考慮乙個問題：你覺得(a+b)+c和(a+c)+b
或者說f(f(a,b),c)和f(f(a,c),b)
應不應該有差別？
你喜不喜歡這樣一種確定性？如果先加b後加c和先加c後加b不一樣你能不能接受？
我就這麼強行規定了，兩者應當是一樣的，合不合適？合適得不得了。
用可交換性變個形，差不多就能看出，這個條件其實就是小學學過的結合律。
有了以上兩個條件以後，其實我們可以看出：
在連續使用「類加法」對映後，得出的類似於
(((a+b)+c)+d)
或者說f(f(f(a,b),c),d)
這樣的「連加式」，只要各個參與的物件各自出現的次數一致，那麼結果就應當是一致的。
也就是說，「連加」其實可以認為是由二元加法推廣出的乙個新的任意多元可變序對映，例如：
f(f(f(a,b),c),d)=f(a,b,c,d)，且f(a,b,c,d)中各自變數換位不影響輸出量。
f是乙個任意多元對映。它對應乙個可運算的集合A（其實這裡就已經涉及到了群的概念），使得：
1. f(a,b,c,d,e······)中，任意自變數位置互換，f不變，即對映結果與順序無關。
2. 任意多個a,b,c,d,e······屬於A，f(a,b,c,d,e······)屬於A（即封閉性）
即，f:A×A×A×A×A→A
3. f(f(a,b,c,d,e······),f)=f(a,b,c,d,e,f······)
在這裡，我們其實可以看出，其實不但我們常常使用的加法以及連加（∑）是滿足這個條件的，而且實數的乘法也是滿足這個條件的。
其實以上，僅僅是略微講了一下群的性質，而且那些規定僅僅使用了向量空間的八個條件中的前兩個條件，因此例如正整數集也是可以作為我之前規定的「A」來使用的。但是不用怕，缺失了其他的條件，只不過無法定義「向量空間」，但是要定義什麼是向量那還是足夠的。以上我定義的「能夠參加類加法運算的元素」，都可以視為向量。
不用詫異，接下來，我不但要說，作為乘法參與者的實數是向量，而且還有其他太多東西也是向量。
比如說函式關於某個自變數的函式本身也可以是向量。
如果我們定義了關於t的函式δ(t)，u(t) （注意要把函式本身當作乙個考慮的物件，而不是函式在某個點的值）
那麼，δ(t)+u(t)，是針對函式的加法。而這種加法符合之前定義的條件。所以，這些「關於t的函式」也是一種向量。
總之，你能想到的能拿來加的物件，全都是向量。向量並不只是有序陣列或者有長度有方向的箭頭。當然，如果到了現在，你可以利用我之前給出的那個條件，審視一下「平行四邊形法則」的本質是什麼。
二、線性對映
在上一章中，我們構造了加法。在上一章中，經常將符合條件的多元對映稱為「類加法」，其實我們並不需要這麼謹慎。這個世界上並不存在乙個絕對存在的運算叫做「真正的加法」，都是我們定義出乙個加法。
在構造乙個體系時，我們建立的第乙個「類加法」，其實完全可以將其稱為「加法」。
加法是我們接觸到的第乙個與向量有關的對映。而與向量有關的對映還有很多。
正如羅翔老師所說，法律的經驗是生命而不是邏輯。在擁有了加法這乙個對映以後，為了能夠利用加法實現解析，下一步幾乎必然是去研究線性對映。
我們已經有了可以參與加法運算的集合A，以及在這個集合上的滿足上一章總結出的三個條件的加法運算∑。
定義：在可以參加加法運算∑且封閉的集合A上
又存在對映f，且對映f到達的集合B（即f的像）上又定義了另一種加法運算σ
若對映f滿足以下線性條件：
f(∑（a,b,c···))=σ(f(a),f(b),f(c)···)
則稱，f是乙個從A到B的線性對映。
表示加法可以用多元對映表示，也可以用加號來表示。上面那個線性條件也可以寫為：
f(a+b+c+···)=f(a)⊕f(b)⊕f(c)⊕···
此外，線性條件的初始定義也可以由二元加法來表示，即：f(a+b)=f(a)⊕f(b)。這其實無關緊要，因為只要兩邊的加法運算確實是加法運算的話，那麼兩種表示是完全等價的。
證明的話比較簡單，f(a+b+c)=f((a+b)+c)=f(a+b)⊕f(c)=[f(a)⊕f(b)]⊕f(c)=f(a)⊕f(b)⊕f(c)，之後繼續類推即可類推出任意個變數的情況。
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