1樓：燈花燭淚
@Richard 珠玉在前，在這裡我沿著他的思路繼續走，證明\arctan c.\\" eeimg="1"/>顯然，有
其中非零多項式
0,\qquad\textc\geq 3,~0因而命題得證。
但實際上界在 附近，這個估計還是不夠緊。坐等高手。
2樓：林東海
我寫個高中生能用的方法：
8>e^2，則3ln2>2
則ln4=2ln2>4/3>5π/12=arc tan（2+根號3）>arc tan3.證畢.
3樓：freeMaths
本答還是基於常見常數的近似值是已經知道的，如證明
題：證明 \arctan 3." eeimg="1"/>
先簡單介紹下反正切函式 單調遞增的奇函式.
熟知 x=\tan(\arctan x)," eeimg="1"/>則 \arctan x}." eeimg="1"/>
由兩個反正切的和為
中的恒等式，如在 中令 可得
於是\arctan 3\\[1em] \iff 2\ln 2&>\frac 4+\arctan \frac 12\\[1em] \iff 8\ln 2&>\pi+4\arctan \frac 12, \end\\" eeimg="1"/>
而8\times 0.69=5.52>5.15>\pi+4\times \frac 12>\pi+4\arctan \frac 12.\\" eeimg="1"/>
如果忘記了自然對數的近似值，可以參考2022賀年題的解答中的級數展開式.
4樓：Takatomon
20 贊補充乙個級數版本:
顯然 單調減小，且該交錯級數首項為正，因此該級數一定大於 0.
故0.\\ \end" eeimg="1"/>僅需證 e^," eeimg="1"/>這並不複雜。這是因為 0." eeimg="1"/>
開個玩笑，為了證明的簡潔，筆者在這裡使用乙個結論: 證明見: Proof that 22/7 exceeds π
由單調性容易證明 0" eeimg="1"/>時 故因此 故
因此 e^." eeimg="1"/>Q.E.D.
5樓：對方正在輸入
這個證明只需要你知道 與和角公式即可
由和角公式
這裡 直接取 ，則 3=\arctan3" eeimg="1"/>
這裡只需證明 75^\circ" eeimg="1"/>即可，即證 \frac" eeimg="1"/>
所以只需證明 1.31" eeimg="1"/>，也就是 e^" eeimg="1"/>
，其中 又小於
所以只需證明 e\cdot e^} \cdot e^" eeimg="1"/>
通過試根， 1.4" eeimg="1"/>
將 取只需證 2.72\times1.4\times e^" eeimg="1"/>
即證 3.808 \times e^" eeimg="1"/>
移項，即需證
即需證 e" eeimg="1"/>
注意到 2.77>e" eeimg="1"/>（其實你保留兩位小數兩個兩個乘五次就能發現 3" eeimg="1"/>
上式 \arctan3" eeimg="1"/>即證
6樓：高天鉀
只需2ln(1+1)+arctan(1/3)＞π/2
那麼p=2(1－1/2+1/3－1/4+1/5－1/6+1/7－1/8)+1/3－1/3*1/27＞π/2，π取3.1415926535898(進一)
顯然，2ln(1+1)+arctan(1/3)＞p
如何證明該無窮級數收斂於 ln2 2
三千弱水 上面三位答主都用到了 在此基礎上把這個級數做個推廣 實際上令，則又所以 又所以所以我們接下來主要計算 同時幾個簡單的副產物 並得到了如下的副產物 參閱 1 Bowman,F.Note on the Integral 012 logsin nd Journal of The London M...
如何比較ln3和1 1的大小？
正解 直接用手算就可以了。取1項是1.08，取2項是1.0956，取3項是1.0985，取4項是1.0986，取5項是1.09861 差多不每多算一項，增加乙個有效數字，所以算到前三項就知道不會突破 1.1 了。 王進一 題主好，巧的是，本人最近參加的2020年北京市第一次普通高中學業水平合格性考試...
如何證明由 4k 3 可產生無窮多個質數？
可以但沒必要懂不 分兩步證明 1.先證明形如 的正整數必含有形如 的素因數。由於任一素奇數只能寫成 或者 的形式，而 所以把形如 的數相乘的積仍為 形式的數。因此，把形如 的整數分解成素數的乘積時，這些素因數不可能都是 形式的素數，一定含有 形式的素數。2.其次，設 是任一正整數，並設 是不超過 的...