1樓：
若所有奇圈的長度都為 3，考慮構造一種方案使 G 四著色，不妨設四種顏色為 。
我們一定可以找出乙個邊集 ，滿足去掉 中的邊後的圖可以二染色，且 最小，即滿足圖 不存在奇圈，可以二染色，使得 最小。
然後我們對 進行二染色，點被染色成白點和黑點。設此次點 的顏色為 ，那麼一定對於，即該邊屬於乙個奇圈，否則該邊 可從 中刪去，與 最小矛盾。
同時，因為不存在奇圈的長度大於 3，所以對於，不屬於原圖的任意乙個偶圈。否則，由於偶圈大小為 ，而 兩端點之間存在一條長為 2 的路徑（它本身屬於乙個三元圈），所以便會形成乙個大小為 的圈，與題設矛盾。
接下來我們對於 的圖 再次染色，單獨考慮每乙個極大聯通分量。
我們可以證明，圖 是個二分圖：假設 中存在乙個奇圈 ，我們任取兩個不同的邊 ，那麼在原圖 上，點 和點 之間也存在一條長度為 2 的路徑，因此 同時屬於乙個長度為 的偶圈中，與上文黑體字矛盾，故假設不成立，圖 是個二分圖。
是個二分圖就可以二染色，由於 ，所以每乙個極大連通分量內的點的 都是相等的。我們對於所有點 為白色的極大連通分量二染色為 ，對所有點 為黑色的極大塊連通分量二染色為 。令此次染色後點 的顏色為 。
這時，滿足 ，四著色完成。
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