如何證明這個不等式 1 x 1 x 1 1 x x 4？

1樓：拼勃向上

不請自來，我的做法比其他大佬簡潔而優雅。已知 ;

有顯然一定為的極值點。

又考慮 2ab" eeimg="1"/>,(1+\frac)^}" eeimg="1"/>

同時其中 0" eeimg="1"/>，於是 \frac)^+(1+\frac)^}>(1+\frac)^}" eeimg="1"/>

因此, (1+\frac)^}" eeimg="1"/>, 為凹函式。, 為凸函式。

顯然， ,取，則

考慮， ,因此 ,有

有，因此

一定為最大值點。

2樓：XuGuang

證明證：考慮函式

其中，當時，

令並且

所以當時，

當 1" eeimg="1"/>時，

令 0 \end\]" eeimg="1"/>且所以當 1" eeimg="1"/>時，所以當 1" eeimg="1"/>時，

綜上，在上大於，在上小於所以

3樓：「已登出」

The originalinequalityis only correct for 0" eeimg="1"/>, otherwise the expression iscomplexand thusincomparable.

Rewriting the left side using a moresymmetrical formas .

Consider thesecond-order derivativeof the function as in

Since for defined by theexpansion, we can obtain that, therefore, the originalinequality is correctfor 0" eeimg="1"/>.

4樓：

不請自來，令f(t)=t^(-t/(1-t)),(0f''(t)=f(t)*(2+(ln t)^2-t-1/t)/(1-t)^4

熟知0因此f''(t)<0,顯然有f(1/(1+x))+f(x/(1+x))<=2f(1/2)=4，證畢(原諒我不會用軟體)

5樓：田子何

思路：（1）發現左邊兩項關於x, 1/x 輪換對稱；

（2）猜想左邊在x=（1/x）=1處取得最大值4；

（3）求導驗證果然f』(1)=0, f(1)=4。現在萬事俱備，只差充分二階條件了；

（4）想辦法證明f」<0。不好證，原因是二階導數表示式中定正負號的關鍵部分比原式左邊還複雜；

（5）換元利用輪換對稱破解：令y=1/x, 記L(x,y,z)=(1+x)^y+(1+y)^x-z(xy-1)，其中z是拉格朗日乘子。然後求L的二階偏導矩陣的行列式，那個行列式雖然更加肥大，但由於高度輪換對稱，再加上拉格朗日乘子的輔助線角色，其正負號反而比直接的f」容易判定。

再結合約束最優方法的二階充分條件判斷出原最大化問題在全域性有唯一最優。