1樓：予一人
置 則注意到 在 上嚴格單增，在 上嚴格單減，於是：
當 時， f(x)+\frac\ge2," eeimg="1"/>得證；
當 時， 2," eeimg="1"/>得證；
當 e" eeimg="1"/>時，另置 則 此時可以證明 於是 g(+\infty)=2," eeimg="1"/>得證。
綜上，待證不等式成立。
第三部的證明補充如下：
為證 e)g'(x)<0," eeimg="1"/>注意到 只需再證 進而又只需證 1." eeimg="1"/>再由 (x+1)^}," eeimg="1"/>又只需證 1," eeimg="1"/>亦即 1," eeimg="1"/>亦即 \ln(x+1)-\ln x," eeimg="1"/>亦即 \frac\ln(x+1)," eeimg="1"/>亦即 (x+1)^}," eeimg="1"/>這顯然是成立的。
2樓：XuGuang
這個問題，我想想。
e" eeimg="1"/>
因為 0" eeimg="1"/>
所以因為
\frac \right)}^2}}}\left( \right)\ln x + x^2}x} \right)\\ m(x) = 2x - 2\left( \right)\ln x + xx\\ m' = xx - 2 > e - 2 > 0\\ } > m(e) = e - 2 > 0 \end\]" eeimg="1"/>
所以，0" eeimg="1"/>
所以\frac^2}\left( \right) - 2\ln \left( }1} \right) + 2}} \right)}^2}}} \end\]" eeimg="1"/>
因為 0\]" eeimg="1"/>
所以 0\]" eeimg="1"/>
所以注：這個題目好像似乎還可以加強，
可以考慮證明 2 + \frac \right)}^2}}}\]" eeimg="1"/>
這個有待考慮。
3樓：Clark
啊啊啊啊沒想到我居然能跟蘇神 @蘇承心 回答同乙個問題！！！（我很早的時候就有幸加上了蘇神的QQ然後一直躺在好友列表裡居然沒有被刪掉，真是乙個奇蹟，高中學導數題的時候印象最深的就是海明哥跟蘇神兩個大神，從高一開始到現在的新大一應該有三年了，在這裡瘋狂表白兩位！！！！）
好的，請自動忽略上面的胡言亂語，我們開始寫題：
當 時：
容易知道左邊的兩項都是大於1的，加起來自然大於2。
當 時：
我們先指出兩個非常簡單的不等式：
當然，我的小可愛們應該都很熟悉了，第二個不等式實際上是對數平均小於算術平均的變形。
下面的過程呢，就只用這兩個不等式和基本不等式，不用求導，小可愛們肯定是可以看懂的。
故我們只需要證明：
2 \Leftrightarrow" eeimg="1"/>
\frac \Leftrightarrow" eeimg="1"/>
\frac \Leftrightarrow " eeimg="1"/>
2-\frac \Leftrightarrow" eeimg="1"/>
2-\ln x" eeimg="1"/>
注意到：
\frac \ge \ln(\frac)+1=\ln(1+x)" eeimg="1"/>
只需證明：
2-\ln x \Leftrightarrow" eeimg="1"/>
2" eeimg="1"/>
由基本不等式得：
\ln9 >2" eeimg="1"/>
好了，到這裡就做完了，你們有人說看不懂的我就要打人了，這算是我寫過程寫的超級詳細的一次了，如果你們說上面那兩個不等式要我證明的話，我也要打人的。
上了大學也會更新的！！！
只是剛開學有點忙！！！
一直都在知乎啊！！！
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