1樓：可以但沒必要懂不
分兩步證明
1.先證明形如 的正整數必含有形如 的素因數。
由於任一素奇數只能寫成 或者 的形式，而
所以把形如 的數相乘的積仍為 形式的數。
因此，把形如 的整數分解成素數的乘積時，這些素因數不可能都是 形式的素數，一定含有 形式的素數。
2.其次，設 是任一正整數，並設 是不超過 的形如 的所有素數。令 。顯然，每個 都不是 的素因數，否則將會導致 ，與 是素數矛盾。
如果 是素數，由於 ，即 也是形如 的素數，並且顯然 ，從而 N" eeimg="1"/>。即 是形如 的大於 的素數。
如果 不是素數，由第一步證明可知 含有形如 的素因子 ，即 是形如 的大於 的素數。由於 是任意的正整數，因此證明了形如 的素數有無窮多個。
2樓：考呀數學
其實知乎上有很多人都知道Dirichlet定理，也讀過證明。所以我們在這裡並不是要給出定理的證明，而是藉此題目敘述處理算術級數中素數分布問題的想法，如果拋開細節，這是乙個中學生也可以理解的idea。
事實上，我們可以追溯至Euler對素數無限性的證明——要證明素數無限，可以轉而證明乙個更加強的命題：級數 發散，由此可知素數有無窮多個，否則它收斂。而證明該級數發散，關鍵在於Euler利用算術基本定理證明了Riemann-Zeta函式的乘積公式：
1" eeimg="1"/>
並利用該乘積公式證明了：
那麼，我們取 ，立即得到 發散。
Dirichlet借鑑了Euler的想法：如果我們要證明算術級數 中有無窮多個素數，那麼同樣可以歸結成證明乙個更強的結果：
如果我們把下標改寫成 ，那麼上式變成：
這裡 。對比Euler對素數無限的證明，現在的問題在於，我們能否找到乙個Riemann Zeta函式的推廣版本，使得 的斂散性可以被這個推廣版本函式的性質反映出來，更具體地，是由這個函式在處的取值反映？
為了做到這一點，並不是乙個完全容易的事情，我們從兩個方面來考慮：
首先，從以上級數的分子可以看出，至少我們應該把Riemann Zeta函式的分子變成乙個比較一般的函式（至少不恆等於1）
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這裡又有乙個問題，這裡的 應該是乙個什麼函式呢？
2.注意到這裡的 實際上可以看作是 上的乙個函式，我們可以使用上的Fourier分析把 表示出來。我們簡單地敘述 上的Fourier分析的內容，粗略地講，它是說上的complex-valued function可以被character表示：
我們假設 是上complex-valued function的全體，其中一類特殊的function稱為 Dirichlet character on ，即乘法同態： 的全體 ，它又被稱為 的Pontryagin dual 。
(1) 對於 ，它的Fourier coefficient定義為：
(2) 我們有Fourier inversion formula：
我們使用Fourier inversion formula去計算，可以得到：
並且可以由此計算 ，得到：
其中 是平凡特徵。取 ，注意到 ，可知 式右邊第一項發散；又因為第二項中第乙個求和是有限求和，因此，如果能夠證明 時，有界，即可說明 。所以，我們把該問題變成了證明- 函式的性質，類似，我們有：
所以，最終轉化成證明：
至於剩下的證明過程，包括 的證明，都可以從解析數論入門書籍中查閱到。
於是可以說，我們從這個比較古老的問題知道了一種philosophy:
這種philosophy推廣到數域上，即 變成Dedekind Zeta ， 變成Hecke L ，prime numbers換成prime ideals，這些就是20世紀初數論關心的內容之一了。
3樓：Johnny
不涉及極限和無窮，小學生也能看懂的初等證明：反證法。
假設由4k+3可產生的最大質數為4K+3。
則把從2開始一直到4K+3之間的所有質數相乘再+1，設這個結果為M，則M必然與2～4K+3之間的所有質數都互質。
顯然，M除4餘3。
若M為質數，則與假設矛盾。
若M不為質數，則M必為兩個或以上比4K+3大的質數的乘積。但比4K+3大的質數均除4餘1，其乘積也必除4餘1。矛盾。
綜上所述，結論得證。
4樓：
23333就知道有人問 的就會有人問 的
複製貼上就緒( _)
假設 1" eeimg="1"/>，考慮級數可以得到這樣的分解：
如果 型的質數是有限的，那麼
其中前兩項嚴格大於0，第三項在 時趨於 ，但是有限，匯出矛盾。
下乙個等一波 的我還能來（笑）
答題要有誠意，再補乙個解法二好了：
考慮數列
每一項模4餘3，所以都有至少乙個 型的質因數。
但是由於 ，數列裡任意兩項不相等的數互質。
所以從每一項的質因數分解裡挑乙個 型的質數，可以得到無窮個互不相同的 型質數，得證。
5樓：[已重置]
首先，問題顯然等價於證明：形如 的素數有無窮多個。
其次，由於以下命題——
引理：形如 的正整數必然含有素因子 ，且 n" eeimg="1"/>。
證明：顯然，所有大於 的素數都是奇數；而模 的剩餘類中，僅有（代表元為） 和 （即 ）這兩者是奇數，故所有大於 的素數僅能為二者之一。此外，容易驗證 關於乘法封閉，故 的素因子不可能全部形如 ，則素因子 必然存在。
最後， ， 顯然不是 的因子（模la個都不是零），故素因子 n" eeimg="1"/>。證畢。
成立，這個問題的證明是初等且顯然的。
6樓：金岳霖
任何ak+b，ab互素，k取整數，都可以產生無窮個素數。
如何證明ln4 arctan3
Richard 珠玉在前，在這裡我沿著他的思路繼續走，證明 arctan c.eeimg 1 顯然，有 其中非零多項式 0,qquad textc geq 3,0因而命題得證。但實際上界在 附近，這個估計還是不夠緊。坐等高手。我寫個高中生能用的方法 8 e 2，則3ln2 2 則ln4 2ln2 4...
如何理解 可導必然連續 證明中，由x的增量趨於0，直接推出y的增量趨於0，而不討論f x 是否有界？
asdlittle 不不，我並不認為對於初學者這是個很愚蠢很沒有價值的問題，函式在區間上的整體性質與函式在區間上每一點的性質完全不是一會事，實際上你已經摸到 逐點連續 和 一致連續 的區別了，雖然你可能沒意識到，甚至你的書上可能根本就沒提什麼叫一致連續。 注意分清極限過程中的變數和常量。在你寫出的導...
如何證明 4k 1 型的素數有無窮多個？
不忘初心 我試著用一下單篩理論證明一下，大家看看我是否證明正確。引理 已知 是小於2n的所有奇質數，在任意連續的2n個自然數中，將除以餘 除以餘 除以餘的數除去，則無論 取何值，都至少存在2個數未被除去。在引理中，可將 任意連續的2n個自然數 改成 項數為2n，公差為d的等差數列，其中d與 互質 通...