數學知識可錯嗎？

1樓：胡說的山東海鮮

先寫結論：當然可以錯！數學裡「公理是不證自明的」這一觀點已經動搖了。

人類發現數學也會錯的起點，就是對歐幾里得的幾何第五公理的質疑。今天我們當然知道除了歐式幾何，還有黎曼幾何等等。

當然，黎曼能取得這個勝利，是因為他的老師高斯也不認同歐式幾何的正確性，在 1817 年 4 月 28 日所寫的一封信中講道：「我現在越來越確信，今天的（歐幾里得）幾何學的必然性並不能被證實。」，高斯得出的結論：

歐幾里得幾何不能被視為普適的永恆真理，並且「不能把歐幾里得幾何與算術相提並論（因為算術是先驗性的），但大致可以與力學相提並論」。

很多人不理解歐式幾何與黎曼對最短直線的糾結，其實在大尺度運用中，我們更多的是用黎曼幾何。「兩點之間的最短距離並不是一條線段，而是大圓上的一段弧，而這個圓的圓心恰好也是球心。」

今天，航空公司安排的航線就是黎曼幾何，從美國到歐洲的國際航班的飛行線路最短路線並不是直接兩點之間的『直』線，而是向北經過格陵蘭的大圓弧才是最短航線。

在黎曼幾何發表的演講中，黎曼一開始就說：「幾何學預先假設了空間的概念，並假定了構建空間的基本原理。但是，幾何對此僅給出了名稱上的定義，而這些概念和原理的本質說明是以公理的形式出現的。

「那些預先假設之間的關係還不為人所知。我們看不出它們之間的任何聯絡是否是必然的，或者在多大程度上是必然的，甚至不能預先確定，它們之間是否可能存在聯絡。」

在後續的研究中，更多數學家發現歐式幾何的公理有設定問題，法國著名的數學家亨利·龐加萊提出，幾何的公理「既不是綜合的先驗性直覺，也不是經驗事實。它們是約定俗成的。我們根據經驗事實做出選擇，而這種選擇是自由的」。

龐加萊僅把公理視為「偽裝的定義」。

最終，歐幾里得幾何學對空間的感知被證明是後天學來的，而不是直覺獲取的。

由此可見，數學知識是可以錯的。

不過，正是如此，數學才被歸為科學，而不是哲學範疇。

因為可以證實，證偽，補充，例外的學科，才能被歸為科學。