1樓：MAN
如果以現在的眼光來看：
曾經，=，隨著√2一類數的發現，這類數不能歸為，則範疇要擴大。
會不會有第三類數？取決於前兩類數的定義方法：是否能表達為兩個整數之比。根據「排中率」，只有「是」與「否」，不會有第三種。
2樓：Ywztms
實數是被定義出來的。首先定義出自然數，整數，然後用整數定義出有理數，再由有理數定義出實數。
有理數指可以表示成兩個整數之比的數。有理數有兩個屬性，一是有序性，即可以比較大小。乙個是稠密性，任意兩個有理數之間都有無窮多的有理數。
最開始的時候人們認為所有的能和有理數比較大小的數都是有理數。後來發現例如a^2=2這種數，可以比較大小，但是不是有理數。於是這種數被定義成無理數。
無理數與有理數並稱實數。
實數就是指乙個條件，這種條件可以將所有有理數按大小劃分為兩部分。這種條件確定乙個數，它可能是有理數，也可能是無理數。所有的可以造成這種劃分的數的集合稱為實數。
實數也是稠密的，但是它的連續性是被定義出來的，因為所有能對實數進行劃分的數，都被定義成了實數。所以實數是不可能像有理數那樣存在空洞的。
3樓：
數的集合是按需要定義出來的，並不是因為他本來就存在。話題回到2023年前，那時候的人意識中可能認為自然數就是所有存在的數。
假設我現在定義兩個數x和y，是如下二元一次方程組的解：
我們知道，線性方程組有唯一解的必要條件係數矩陣A和增廣矩陣B的秩相等，
即是rank(A)=rank(B)。
當rank(A)=rank(B)然而上面的方程組rank(A)=1，rank(B)=2，rank(A)現在，我有某種需要，我要認為這個方程有唯一解，並且用一種奇怪的符號表示，例如x=~752.541, y=~342.253。
至於這個符號是什麼意思，我也不知道，反正在這裡它們是這個方程的唯一解，並且你給我任何乙個稀疏矩陣秩小於增廣矩陣秩的方程組，我都能找到它的唯一解(瞎編的)。
於是就出現了這麼一類數，不等同於我們已知範疇之類的任何一類數，但是通過某種奇怪的對映方法，他們能滿足一種基於當前意識數的集合裡面不可能滿足的方程，我要把這一類數，稱之為b數。
假如未來的某一天，人類都胖的跟個球一樣，動都懶得動，提筆寫那麼長一串數字想想都費勁，運算法則自然也要更改，於是人們規定：
3+4=1，因為3天+4天等於一星期，
5+7=1，因為12個月是一年，
1+1=1，因為1個男人+1個女人=1鍋粥。
人們習慣了這種演算法並且大家都懂，這時候乙個2023年的智人因為在b乎老是反對別人被暴揍，穿越過去，看到這種奇怪的演算法不能忍，說，你們這些笨蛋，十以內的加法都不會算，結果被未來的胖球人一頓胖揍，邊揍邊說：
4樓：狗上樹
你好，有理數和無理數統稱實數了解下。
你提問的邏輯不對，這是定義，怎麼都是對的。你應該問的是有理數和無理數的集合是不是「緻密的」，也就是說是不是連續的!
5樓：
呃我覺得題主對有理數的理解是有限或者無限迴圈小數，對無理數的理解是無限不迴圈小數。
實數是所有小數。
從這些定義出發，實數=有理數並無理數可以被證明。
首先乙個實數要不然是有限位的小數，要不然是無限位的小數。若該實數是有限位小數則是有理數。
若該實數是無限位小數，則要麼迴圈，要麼不迴圈。若該實數無限且迴圈，則是有理數。否則是無理數。
綜上所述，任取一實數，則其或是有理數或是無理數。所以實數是有理數並無理數的子集。
另一方面，根據有理數和無理數的定義，我們知道有理數和無理數都是實數的子集。
因此實數等於有理數並無理數。QED
6樓：好奇理論
實數集 R 就是有理數集 Q 的完備化空間, 即 R 實際上是由有理數組成的柯西列的集合, 任何乙個有理數 x 可以看做特殊的柯西列 , 其中 a_n=x, 對於任意 n 成立.
無理數集的定義為 R - Q, 因此, 實數集 = 有理數集 ∪ 無理數集.
7樓：Ember Edison
正面回答：
對於構造主義者來說，實數=可數個可識別有理數+可數個可識別無理數+不可數個不可識別但是確認有無理性的數+和實數一樣多的gap的不可識別數
對於秉持形式主義多宇宙觀的人來說，因為無理性的定義並不絕對，所以存在一大堆無理數來個保守擴張和非保守擴張之後就變成有理數，一大堆數到底是有理數還是無理數完全取決於你的心情（雖然這些數都遠離解析數論前沿）
對於秉持柏拉圖主義，V=終極-L的人來說，實數=有理數+無理數（返璞歸真）
出現這種情況的根本原因是無理數集內嵌入了全體函式集的關鍵資訊，而全體函式集又嵌入了全體合法集合的真類V的關鍵資訊（Lowenheim–Skolem），也就涉及到了整個數學的根本面貌，接下來掉入模型論的地獄就是無法避免的事情
@Xyan Xcllet的回答沒有錯。實數集裡面除了可以摻入大基數以外，如果進一步地在沒有選擇公理的前提下甚至是非標算術的模型之下可以混進去更多奇奇怪怪的科恩實數，脫殊實數。比如可以摻入Mediate cardinals，他們是居於自然數無窮和有窮集合「中間」的無窮集合而這一生造的無窮集合之中絕對地百分百無新增任何自然數元素為其子集。
8樓：不語與不眠之前
實數是個沒辦法再添進數的數軸，再擴張只能是多個數軸，如R^2，也就是複數，從一維的數軸，變成二維的平面。
最初這個數軸並不是滿的，也就是有理數，中間密密麻麻充斥著細縫，然後無理數填進去了，就滿了。
皮亞諾公理定義了自然數集，憑藉著增量運算，定義加法，自然數在數軸上就是一堆點，而且就佔了數軸的一方，為了佔據另一方，即負整數，我們利用減法（當然，實際上並不能說是減法，準確說是和減法等價的東西，就像增量運算等價於+1）得出來整數，整數均勻的分布在數軸的各地方，但很稀疏，這個時候我們利用除法（也不是除法，而是與除法等價的東西，畢竟在整數環中除法是不足夠用來定義有理數的，只會產生餘數……）得出有理數。
有理數看起來很滿，但還是有縫隙，借助極限（實際上是柯西序列）得到實數。
無理數的乙個定義其實就是實數集減去有理數集……
當然，我們也可以用實數的性質定義實數，不過我個人還是喜歡這種……
9樓：童蒙
先有自然數集，減法封閉擴充到整數集，除法封閉擴充到有理數集，再利用有理數的柯西序列定義好無理數才擴充到實數集，所以是把有理數集並上無理數集後的集合命名為實數集。不是先有實數概念，再去找無理數的，別弄反了！
10樓：坎圖沙古卷
可能會有，但是需要你去發掘，拓展。
就像當年人們覺得只有實數滿足不了人們的需要時，就有了虛數。
從而復變函式之類的也順帶著發展了起來，
順帶著以虛數，復變函式之類的理論為基礎的其他學科也就發展了起來。
嗯！少年，
去研究去拓展吧！
人類歷史上的又一大進步，就看你的了！
這裡解釋下我的想法
就是以後隨著人類的發展
會不會實數域被人們擴充套件成三種甚至四種數的組成？
畢竟現在實數域的本質就是整數然後加減乘除開根號所得的數域開根號的時候加個根下負一就是虛數
然後以後隨著人類發展發現只有這些運算不夠用然後就多加了幾種運算
自然就會多幾種數域
只不過是個怎麼個擴充套件法
我也不知道
無理數的無理數次冪能是有理數嗎？
e lnx x，這是恒等式。x是任意有理數時，lnx顯然是無理數，e也是無理數。可以。比如根號2的以2為底9的對數次方等於3。根號2和log2 9 是無理數，3是有理數。其次，還有 2的根號3次方 的根號3次方 8根據施耐德定理得2的根號3次方是超越數。超越數肯定是無理數。還有e ln 2 2。還有...
為什麼兩個無理數相加可得有理數？
威宸 個人感覺哈 1.4142135623.0.4142135623.1 順便說一句，其他答案好高階啊我看不懂，而且用高中大學的理論給初中生解釋的話理解上還是有困難的 幷州達人 假設這個運算符號寫作，某個集合滿足以下條件，可以稱為群，1，閉合性，對於這個集合裡任意兩個元素a，b，ab得到的結果一定也...
如何證明有理數與無理數的稠密性？
千年語 注意我用方框標出的結論。有理數在實數範圍內的稠密性，可以將實數 有理數或者無理數 逼近成有理數，逼近後的兩個有理數取中值即可。無理數的稠密性運用了有理數稠密性結論，在任取的實數x減去根號二，y.減去根號二中，一定有個有理數r存在，所以同加根號二，得到x小於r加根號二小於y，r加根號二是無理數...