1樓：宙宇001
定義實數a如下：
若康托爾連續統假設為真，則a=1；
若康托爾連續統假設為假，則a=e；
類似如此，那麼實數a可不可以判定，取決於連續統假設可不可判定。
那麼這樣就可以看出來，存在與否可以變成，有沒有不可判定的命題。
2樓：hhh
有，因為證明是一段有限文字。
設符號有無限個，那麼把符號排列。
設a1是第1個符號，a2是第2個符號……
那麼證明的排列有:
a1，a2，a3，a4，……，這是可數的。
a1a1，a1a2，a1a3，a1a4，……，這也是可數的。
a2a1，a2a2，a2a3，a2a4，……，這也是可數的。
同可數個可數集之並是可數的。
所以anan是可數的。同樣ananan是可數的。
直到可以推出任意的anananan……(有限個an)是可數的。
然後證明序列等同於，anananan……(有限個an)並在一塊，所以證明序列是可數的。
但是實數是不可數的。
所以存在不可能被證明它是有理數還是無理數的實數。
例子:尤拉常數，π±e，π^π。
3樓：
記得華老在《高數引論》開篇提到所有實數都可以用無窮小數表示，所以可以用有無迴圈節區分有無理數.
如此，給定實數必然是有或無理數，雖諸如e+π此類迴圈節未可明確的數尚無法判斷從屬，但必然非有即無理數.
這裡有個有趣的點，確定乙個數是有或無理數並不等價於確定這個數是或非有理數或是或非無理數.憶及中學裡證明某數或點或·存在時，老師總教我們找出那個數或點或·，而我常只證明其存在而並不將其尋出，每每失分也不以為恥，倒也唏噓.
4樓：
這個問題，有詭異的邏輯在裡面，非常奧妙。
首先是誰判斷，如果是我判斷，我可能連pi加e 是不是有理數，都判斷不了，所以存在。
如果是某個小學生判斷，連pi是不是，也不能判斷，所以也是存在。
無論地球上的誰來判斷，我都可以構造乙個他有生之年判斷不了的數字出來。如何構造我可以另外開篇講。
也許這個問題的誰，也許不是人類，至少不是乙個人類，哪怕是計算機，圖靈機也有不可判定的停機問題。
很多情況下，我覺得大家把這個不指明的誰預設為乙個擁有無窮算能和無窮時間的機制。
所以這個問題的「誰」，決定了這個問題的答案。
即使，這個問題的誰就是擁有無窮算能的某種xx，那麼在無窮的時間裡不停機，也能算是判斷出了麼？
所以這個問題，又變成了取決於是否需要定義多久，如何定義判斷出。
綜上所述，這個問題，我個人覺得不是乙個邏輯嚴謹的問題。無意冒犯，有一說一。
5樓：小雨可白
個人認為存在，但它一定是有理數和無理數其中之一。
如樓上所說，調和級數之類的，我們的確無法判斷。但是有理數分為整數和分數（整數也可以寫成分數的形式）無理數為不能表示為兩數之比的數，即非分數。
無理數和有理數組成了實數
也就是說，儘管我們無法判斷，但是這個數在被觀測時，它一定是其中之一。
6樓：王泰翔
我聽說還有個狄利克雷不等式恰好跟劉維爾不等式相反。乙個＞，乙個＜。
還有得到超越數比代數數要多，是康托的間接證明得到的，因為他證出代數數是可數的，而實數是不可數的。但是我最近看到有人質疑康托的對角線證明的。比如西北工業大學教授的何華燦那位。
說對角線法有問題，因為對自然數用同樣的方法，便得到自然數不可數的謬論。
7樓：
給定任意乙個無理數 ，可以對映到「所有的 是無理數的證明」，因此所有有限長度的某個無理性證明最多對應乙個實數。但是我們知道，「所有有限長度的字串的集合」是可數的，而無理數集是不可數的，因此存在不可數個「無法用有限長度的證明證出是無理數的無理數」，也即除了寫出「這是乙個無理數」以外我們無法給出任何確鑿的證明。
（抖個機靈，狗頭保命）
8樓：請打草稿在吹
你說的不能判斷是有理數還是無理數是什麼意思？是你判斷不了，還是你可以判斷並且最終判斷結果既不是有理數也不是無理數？
如果你問的是前者，有理數和無理數定義擺在那裡的，並不存在不能判斷。如果你說的是後者，那就多了去了，1/3就不是有理數，也不是無理數。
9樓：矽基生物
可以證明：不存在乙個方法能判斷任意實數是否是有理數
任何實數，都相對於一台列舉機，列舉機是圖靈機的一種，其功能是不斷的輸出乙個實數的各個數字
同樣，我們可以構建乙個演算法，將停機問題等價於乙個「實數有理想判斷問題」：
通用圖靈機上的任意乙個程式，將其在紙帶上列印的數視為乙個實數，比如一台圖靈機執行時，在紙帶上列印：
如果我們能判斷這個實數是否是有理數，就能判斷這台圖靈機是否會停機。
根據停機問題，不存在乙個程式能判斷出任意程式是否能停機，所以，不存在乙個方法能判斷任意實數是否是有理數
10樓：低沉的游魚
根據哥德爾不完備定理，如果你僅僅用目前的實數系的公理系統證明出了乙個數不能被證明是無理數還是有理數，那就說明了目前使用的實數公理系統是不一致的，數學大廈就要真的開始動搖了。。
（非數學系，有錯誤請指正）
11樓：醫鸀蕭
不存在，
證明如下，假設存在乙個數a，我們已經證明了他既不可判定為有理數也不可判定為無理數
那麼我們一定不夢找到兩個整數n和m，是的a=n÷m。那麼a就是無理數。於假設矛盾。
所以不存在
12樓：子儀
雖然有理數無限大的性質，無限小數的無限性，賦予我們無限想象的可能。但我們也不能因為「先有雞蛋，還是先有雞」的問題辯不明白，而說不存在雞。這是邏輯方面的悖論。
這個題是說假設有乙個無限小數，因其無限的特性，所以無法判斷這是乙個無限迴圈小數，還是乙個無限不迴圈小數。比方說：小數點後第n位為止，不是迴圈小數；但如果第n+1到2n位，它迴圈了。
因為迴圈點的位置超大，由於人力與計算工具的限制，還未能計算出來，只能說暫時無法判斷是有理數還是無理數。但不能說無法判斷。
因為，這個數如果是用有限的繁分數計算得來的，那它是有理數（根據有理數的定義）；如果是無限的繁分數，或者是無數個分數的和，這個數就等同於無理數（必須註明：這是暫定為無理數）。
13樓：
可以用有限文字證明其可數性數只有可數多個，因為有限的文字只有可數多種組成方式，那麼顯然除此之外幾乎處處都是無法判斷有理性的實數
14樓：梅公尺特的利刃
高數課上老師講過尤拉常數也就是
調和級數前n項和減去 ln（n）在n趨向無窮時是收斂的，但這個收斂的結果沒人知道是有理數還是無理數。
15樓：蘿蔔列夫耶維奇
我覺得這是個偽問題（或者我不理解這個問題怎樣表達），因為，這個命題似乎是這樣表示：彐r∈R（～（ZFC|－r是有理數數），～（ZFC|－r是無理數））
而不要忘記，這裡r不是是形式系統ZFC的「元」，而是乙個外部的實質的變元
16樓：天涯客
數學三大常數之一的尤拉常數，無法判斷其是有理數還是無理數，至今都沒有結論。尤拉常數是指式子1/1+1/2+1/3...+1/k-lnk，k趨於無窮大時的極限
17樓：有丘直方
有乙個定理告訴我們，任意已知實數都可以用大於1的整數進製數來表示有另乙個定理告訴我們，乙個實數是有理數當且僅當它是乙個有限小數或迴圈小數
以上是判定乙個實數是否為有理數的乙個方法
其實由於實數嚴格地由有理數和無理數兩部分組成，所以數學上說對於任意的實數我們總能判定它到底是有理數還是無理數。具體怎麼判定，由於題主只是問是否存在，我們不用去關心。我只需要告訴題主這樣的實數是不存在的就行了
18樓：蔡之遙
不存在。
我們先來看下實數的定義：有理數和無理數統稱為實數。這是一種揭示外延的定義法，即實數的外延為所有有理數和無理數。顯然容易得出，乙個實數要麼是有理數要麼是無理數。
19樓：又喝多了
這個問題是乙個好問題，而且在我看來是應該由頂尖數學家才能解決的。題主問的是能不能的問題，而不是現在知不知道的問題，比如pi+e，只是現在不知道是不是有理數或者無理數，但是不是從數學上來說根本無法知道呢？現在沒有人能回答題主，但根據哥德爾不完備第一定理，如果有人能證明這個數無法知道是有理數還是無理數也是有可能的。
20樓：AntonioJyu
簡單的說，僅僅說分割構造方法決定了一定可以。
唯一的問題就是，沒有乙個根本性質的構造性的證明，統一地可以判斷乙個數是有理數還是無理數。
就是最經典的乙個暫時 無法判定的實數。
有興趣的可以讀這篇綜述
EULER』S CONSTANT: EULER』S WORK AND MODERN DEVELOPMENTS
21樓：蜂蜜柚子茶無果凍
根號2的根號2次方，現在還沒證明是有理數還是無理數呢。
至於你說到的想法，現在數學專業本科一年級的《數學分析》教材第一章第一節（實數）已經給出說明了。具體見圖：
數學分析華中師大第四版上冊
22樓：陳斌
理論上應該能判斷.首先不可定義數是無理數.範圍轉移到可定義但不可計算的實數.
有理數是可定義的,因此如果某個數是有理數卻不能被計算,我覺得可能只是不知道計算方法或者沒有計算能力,或者定義本身的問題而已,並不是理論上不可判定.所以我覺得不可計算數也是無理數.
23樓：靈劍
每個實數自然要麼是有理數要麼是無理數，這是定義決定的，因為無理數的定義就是不是有理數的實數。但判定乙個具體的實數是不是有理數就要困難得多，實際上目前沒有定論的實數隨便一抓就是一大把。
以下內容超出了一般的數學分析的範圍。
如果P成立則對映為1，P不成立則對映到π，則對於乙個不可判定的命題，它對映到的實數自然也是無法判斷是否為有理數的。這可能不是你想要的結果，因為你可能會理解說我們給定乙個實數，意味著給定了乙個可以計算的實數，但事實並不是這樣。
對於任意乙個圖靈機程式S，定義乙個實數a，如果S執行有限步（N步）即停止，則a是π截斷到第N位小數的有限小數，顯然是個有理數；如果S不停止，則a就等於π。顯然可以通過執行S來計算出a的任意位。
但是，因為我們沒有辦法判斷任意圖靈機程式S是否可以停機（停機問題），因此存在S，使得無法判斷a是否是有理數，即便每乙個a的任意位數都可以計算出來。這裡的問題同樣在於我們只知道有這樣的S，但卻沒有辦法找出乙個固定的S（我不知道有沒有這樣的方法，如果有求補充）並且證明它的確是不可判定的，所以可能仍然不太讓你滿意。
如果存在乙個函式，代入有理數後得到無理數，代入無理數後得到有理數，那麼這個函式是否一定不連續？
雨雪晴 定義 如果 是拓撲空間 的子集滿足存在連續對映 使 即 那麼就稱為 可 Wadge 歸約到 記為 如果 則稱 是 Wadge 等價的.見 Ke 對於題主的問題，非常簡單，由於有理數集 是真 集，無理數集 是真 集，所以 不成立.Wadge 等價構成乙個等價關係，所有相互Wadge 等價的集合...
兩個有理數之間必然存在乙個無理數，兩個無理數之間必然存在乙個有理數，但是為何無理數多於有理數？
MAN 翻譯一下 任意兩個有理數之間必有無理數 任意兩個無理數之間必有有理數。換句話說 沒有兩個無理數或有理數是 相鄰 的。既然沒有無理數是相鄰的，無理數是怎樣做到比有理數 多得多 的？這似乎是矛盾的。 因為這個問題表述不夠細緻容易在直觀印象上引起歧義。兩個有理數之間必然是有無數個 多於乙個 無理數...
思考乙個問題，任意給定乙個非零有理數和乙個無理數，能否通過加減（可以無限次）使極限收斂到整個實數集？
這等價於證明對於任意無理數 和正整數 對於任意小的 0 eeimg 1 都存在整數 使得 適當取 則證畢 說實話我第一反應是該命題錯誤，直覺上覺得乙個足夠低階的代數數應該沒辦法被這麼好地逼近 原來是對的啊 Taiat 可以，但是要允許對其中的一些項加上括號，先算括號再算整個求和，不然每步步長大於乙個...