1樓：玟清
原文在此 http://
projecteuclid.org/downl
oad/pdf_1/euclid.bams/1183510788
2樓：Viia
這個證明屬於Ivan Niven。假設pi=a/b，我們定義（對某個n）：
f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!
F(x) = f(x1)^j * f^(2j)(x1)^n * f^(2n)(x)
這裡f^(2j)是f的2j次導數.
於是f和F有如下性質（都很容易驗證）:
1)f(x)是乙個整係數多項式除以n!。
2)f(x) = f(Pi - x)
3)f在(0,pi)區間上嚴格遞增，並且x趨於0時f(x)趨於0，
x趨於pi時f(x)趨於pi^n * a^n / n!
4)對於0 <= j < n, f的j次導數在0和pi處的值是0。
5)對於j >= n, f的j次導數在0和pi處是整數（由1)可知）。
6)F(0)和F(pi)是整數（由4)，5)可知）。
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）。
這樣，對f·sin從0到pi進行定積分，就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))
=F(pi)+F(0)
由6)可知這是個整數。
問題在於如果把n取得很大，由3)可知f·sin從0到pi進行定積分必須嚴格大於0嚴格小於1。矛盾，證畢。
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