1樓：
這等價於證明對於任意無理數 和正整數 ，對於任意小的 0" eeimg="1"/>，都存在整數 ，使得
，適當取 則證畢
說實話我第一反應是該命題錯誤，直覺上覺得乙個足夠低階的代數數應該沒辦法被這麼好地逼近……原來是對的啊
2樓：Taiat
可以，但是要允許對其中的一些項加上括號，先算括號再算整個求和，不然每步步長大於乙個定值，這個無窮次求和都說不清楚.
任取有理數p/q，無理數α.p｛nα｝=n（pα-p【nα】/n）可見p｛nα｝是可表的.
任意有理數p/q可以得到p，對任意無理數α有｛nα｝在（0，1稠密），自然p｛nα｝在（0，p）稠密，我們只需考察數列Sn=p｛nα｝，它可以逼近任意乙個【0，p】中的數，對於【0，p】內任意乙個數x，我們可以取一列｛Sni｝使得Sni當i增大時單調趨近x，由於我們知道ai=Sn（i+1）-Sni是可表的，於是我們找到了乙個收斂序列使得∑ai趨於x，所以【0，p】中的任意數都是可表的.
對於任意區間【kp，（k+1）p】（k屬於Z中的數），只需考察數列Sn（k）=kp+p｛nα｝即可.
3樓：瘋妖人
肯定不行的，設有理數為a，無理數為b，僅通過加減運算可得到數的集合為A，A中元素形如ma+nb，m，n為整數，設內積運算(m, n) =ma+nb，因此可以得到乙個二維整數到A的乙個同構對映，
即f : N \times N \arrow A 同構
因此A中元素可數個，而實數不可數，因此矛盾
4樓：Shawn Yue
不可以。
實數集全體是具有連續統的，數的加減運算無法遞迴到連續統這個級別，最多隻可以構造可數個實數，不可以構造出整個實數集全體
5樓：予一人
提供乙個思考方向，不知是不是題主的意思。
首先，對任意實數 通過對其本身的四則運算，可以相繼得到很清楚，級數
是條件收斂的，於是依重排定理，總可以對這個級數進行重排使其收斂到任意值。
6樓：emoji
可以。給定有理數 ，將其寫成既約分數 。給定無理數 ，令無理數 。
設 表示乙個實數的小數部分。對於乙個無理數 ，乙個熟知的結論是， 全是無理數，並且在 上稠密。所以對於任意的 0" eeimg="1"/>， 存在整數 ，使得 。
對於任意實數 ，都可以用 的整數倍近似，誤差不超過 。所以，形如 的數可以逼近任意實數。所以，形如 的數也可以逼近任何實數。
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