1樓：MAN
翻譯一下：任意兩個有理數之間必有無理數、任意兩個無理數之間必有有理數。換句話說：
沒有兩個無理數或有理數是「相鄰」的。既然沒有無理數是相鄰的，無理數是怎樣做到比有理數「多得多」的？這似乎是矛盾的。
2樓：
因為這個問題表述不夠細緻容易在直觀印象上引起歧義。
兩個有理數之間必然是有無數個（多於乙個）無理數，兩個無理數之間必然是無數個（多於乙個）有理數。
你在數軸上任意截一段，無論這段多短，其上面的有理數數量和整個數軸（沒有終點）上有理數數量是一致的，其上面無理數數量和整個數軸（沒有終點）上是一致的，有理數數量是少於無理數的，不存在有理數和無理數的絕對均勻分布（直觀印象中的乙個乙個排隊）。
從直觀印象上來說，有理數是可列的，也就是說你有足夠長的時間（無限）是可以把有理數寫完的，有理數數量和整數是一樣的，實數的數量遠多於整數，至少不止兩倍（直觀印象），那多出來的那些就是無理數。
舉例子來理解這個數量上的巨大差異：
數軸是一堆點構成的，這堆點及其細小，假設你能看到這條二維的線，但看不到無限小的點，那麼當你把數軸上的無理數都摘去的時候，這兒就沒有線了，你看到的是白紙，但是當你把有理數摘去的時候，你發現這條線好像基本（完全發現不了）是完整的。（直觀印象中的數量差異）
3樓：
這樣想應該是違背了無理數是不可數的吧，也就是說你不可像有理數一樣把無理數用1,2,3,...,n這樣給乙個乙個數出來，你這樣想等於在數無理數了。如果拋棄這種想法，可以考慮0，1/2，1，任何距離超過1/2的兩個無理數之間都有乙個有理數;
再考慮0,1／4,1／2,3／4,1，任何距離超過1／4的無理數之間都有乙個有理數;
以此類推不斷二分下去，任意距離的兩個無理數之間都有乙個有理數，反過來很容易把所有有理數都包括進來，從而任意距離的兩個有理數之間也有乙個無理數，但是並沒有和無理數「多於」有理數矛盾。
4樓：olife
我們對世界認知即是離散的，人類天然就能按個數來衡量物體的數量，我們很輕鬆的就可以把同一類的物品賦予1個，2個的認識。
於是我們的數字也是這樣，但我們無論用10進製，2進製，都無法直接表達連續不斷的量，所以我們用精確度，浮點數來模擬那些在夾縫中的度量，用分數來間接表達那些。
有理數恰好在我們數字所描寫的那個點上，這種點無限多（因為我們的數字也可以無限加長描述更中間的點），但他們的無限連線起來也僅僅是一條無限長的線。無理數是無法用數字直接描述的一段線，他們是可以成為一塊面積的。任意兩個點都可以用線分開，任意兩條平行線中間也隔著點。
無理數使用數學代替思維直接表示我們無法直接認知到的量度（你不用知道他具體是什麼，只用知道他代表著什麼），是乙個翻譯未知世界的工具。也許，世界度量也不一定是我們認為的線性的從少排到多，它可能是四通八達的。
5樓：苦悶馬小偉
有理數和無理數雖然都是無窮多，但兩者中間沒有雙射。有理數的無窮可以構造出乙個雙射對映到自然數的乙個子集，由Cantor-Bernstein-Schroeder theorem可以證明有理數的勢為N0.
6樓：
我明白你的意思，你其實想說，既然集合A比集合B多，那麼混合起來就應該是：
AAABAAABAAABAAAB
這樣就違背了稠密性。
但是數學裡面，一旦引入了無窮的概念，會發生和有限的情況下完全不一樣的事情。事實上，任意兩個A之間都有無窮多個B，而任意兩個B之間都有無窮多個A。集合A和B這兩者都是無窮，但是這兩種無窮並不能形成乙個雙射，這就造成「A既比B多，同時A之間有B，B之間有A」這一在有限的情況下不可能發生的事。
7樓：
是的，無理數比有理數多。
下面我來證明一下！
高能，搬好板凳！
只要知道單射，雙射的概念就能理解全篇。
因為會問這個問題的人大多數都知道，為了閱讀的流暢性，我將單射，雙射的概念放在文章末尾的附錄。
答案是一樣多。
這裡的一樣多是作為「集合的元素個數」這個概念的延拓，即「集合的勢cardinality」而言的。
詳見我的專欄文章:
溫欣提市：初中篇3|識多少-自然數和整數哪個更多？
回顧一下，跟勢的有關定義：
若存在集合A到集合B的單射，則稱A的勢小於等於B的勢。
若A的勢小於等於B的勢，同時B的勢小於等於A的勢，則稱A的勢等於B的勢。下面引進乙個定義：
若存在從無限集A到正整數集 的單射，則稱集合A為可數集，即其勢為可數。
所以關於集合的勢，我們至少有了:
，其中的《都是嚴格小。推論:集合A為可數集的充要條件是存在從A到正整數集的雙射。
證明： 這是顯然的，因為雙射必是單射。
下面證明 . 這也不難。由於集合A可數，從定義知，存在單射 。
由此知道集合 是正整數集的子集。即集合 中元素是可以用腳標來表示的，只不過這個腳標列是數列 的乙個子列而已。只要將集合 中元素按腳標從小到大來重新排列，這樣就定義了從集合 到正整數集 的雙射。
由於A到集合 是雙射，這樣復合起來就是A到 的雙射。QED.
因此可數就是無限集合的最小的勢了。
命題1：有理數集是可數的。
證明：通過構造從有理數集到正整數集的雙射。
令射 ,其中
很容易驗證，這是個雙射。
這個構造看上去很複雜，其實是很直觀的。
令 .則正有理數集 . 把集合 的元素放在第i行，從小到大左右排列。如此就把正有理數集排成了乙個 的無窮大的矩陣了。
沿著從西南往東北的方向從上到下數，給正有理數標號就是上述雙射。
到此我們證明了正有理數集是可數的，而有理數的個數是正有理數的「2倍」,因此也是可數的。這個很簡單，留給讀者自行證明。QED.
你心理上是不是不太好接受？
當直觀與邏輯發生衝突時，你選擇哪個呢？
定義：令集合A的勢為a, 集合B的勢為b，且兩個集合交集為空。則記這兩個集合之並 的勢為a+b
容易證明下述:
命題2
a.可數加可數後者有限仍為可數。即a為可數，b為可數或者有限，則a+b為可數。
這就是為什麼整數集比自然數集多了可數個元素，他們的元素依然一樣多。
b.有限個可數相加還是可數。
c.可數乘可數還是可數。即若a可數，則 。
上述a，b證明簡單，按照定義去理解即可。
c的證明跟有理數集是可數的證明是一樣的，略。
到這裡你是不是覺得有點意思了？
下面我們證明無理數比有理數多。
純構造性證明！前方高能!
為表達方便，我們證明開區間 內的無理數集是無限非可數的，進而比有理數多。
假設無理數跟有理數一樣多，即都是可數的。那麼整個開區間 因為是無理數集和有理數集的並，因此也是可數的。
故而從正整數集到開區間 存在乙個雙射。
於是將開區間 的數,編號如下，即
對每個數 作小數表示，即
我們再構造乙個開區間 內的實數b如下,
其中 於是b不可能跟任何乙個 相等，因為至少第k位上就不等。
這就有矛盾了。QED.
附錄
單射
從集合A到集合B的對映f稱為單射，若
滿射
從集合A到集合B的對映f稱為滿射，若對任意 存在 使得
雙射
乙個對映既是單射又是滿射則稱為雙射。
那些年被數學虐的我們
8樓：萊洛三角形
這個問題曾經也困擾擾過我，但是後來相通了。說白了，就是我們不能寫出乙個無理數的完整表達數，因為他是無限不迴圈小數。你不能停，因為一停就成了有理數了。
所以不能想成像整數那樣1和3之間是2那樣一奇一偶交替排列。然後你再看其他人給的證明過程就行了。
9樓：陳Z
題主可能想的是, 任何兩個偶數之間都存在乙個奇數 && 任何兩個奇數之間都存在乙個偶數 =>奇數和偶數一樣多, 為何類似的邏輯不能套用到有理數和無理數上.
奇數和偶數可以適用這個論述, 因為奇數可以視為偶數在 內的間隙, 排成一列之後很容易得到一一對映 . 但有理數不能這樣操作.不能認為「 是可數的, 所以 的「間隙」只有可數個, 所以可以用可數個數填滿這些「間隙」, 得到完整的 」.
因為「相鄰的兩個有理數」是不存在的.
否則的話, 就已經是完備的了—— 的Cauchy列都是收斂於 的, Dedekind分割也不會得到任何新的東西. 事實上, 是稠密而不完備的, 它也沒有乙個良好定義的「間隙」. 學弱猹：
實分析|筆記整理（2）——勒貝格測度及相關舉例中「乙個不可測的例子」很大程度上體現了「間隙」的這種奇怪的性質.
10樓：謝靈
你的證明是無效的，人類對數的定義不明確，數的定義又不能證明。
無限元素是數的嗎？
非數能進入數學理國進行數的邏輯對比嗎？
只有定義了數，證明了這個定義的正確性。
非數不具可比性，因為比對屬於數學體系中的邏輯，非數不具這個資質。
證明詳見：謝靈：告訴你宇宙真相（四）：三次數學危機同乙個根原所以，所有無理數與所有有理數不具可比性。
說所有無理數多所有有理數；或所有無理數少於所有有理數。都是偽數學。
因為只有數才具可比對性。
11樓：Freud
寫乙個不太嚴謹的證明無理數多於有理數。望指教
首先考慮任取有理數q，無理數p，很容易證明q＋p是無理數，即有理數加無理數等於無理數，根據加法交換率，p＋q也是無理數，即無理數加有理數為無理數。
那我們可以這樣來操作，任取乙個無理數p，定義集合P，則P是個無窮集合，且所以元素為無理數。對於有理數集Q中的每乙個元素和P集合中的元素相加都會得到新的無理數，所以，從每乙個有理數q都可以得到無窮多個無理數。這樣，有理數到無理數就不是一對一的對映，而是一對多，所以無理數要明顯多於有理數。
12樓：
在比較兩個集合中元素的多少時，如果這兩個集合中都有有限個元素的話，比較是十分容易的。
如果我們認同無窮元素集合的存在並且想定義它們的元素多少時，就比較麻煩了，不能用傳統的多少了。而是要引入一一對映，去定義同濃，在同濃等價類上去定義多少。
普通的多少觀在此是無效的。
更何況，我在題目中左看右看，也看不出為啥兩個有理數之間有無理數，兩個無理數之間有有理數，到底和其多少有什麼關係。
題目中描述的這種性質呢，在集合論中確實
有類似的描述，兩個有理數間有有理數，兩個無理數間有無理數，但這可能更偏向於對一一保序，相似等價類：序型的描述。
至於題目中所說的，可能更偏向於拓撲性質了。
為什麼兩個無理數相加可得有理數？
威宸 個人感覺哈 1.4142135623.0.4142135623.1 順便說一句，其他答案好高階啊我看不懂，而且用高中大學的理論給初中生解釋的話理解上還是有困難的 幷州達人 假設這個運算符號寫作，某個集合滿足以下條件，可以稱為群，1，閉合性，對於這個集合裡任意兩個元素a，b，ab得到的結果一定也...
如果存在乙個函式，代入有理數後得到無理數，代入無理數後得到有理數，那麼這個函式是否一定不連續？
雨雪晴 定義 如果 是拓撲空間 的子集滿足存在連續對映 使 即 那麼就稱為 可 Wadge 歸約到 記為 如果 則稱 是 Wadge 等價的.見 Ke 對於題主的問題，非常簡單，由於有理數集 是真 集，無理數集 是真 集，所以 不成立.Wadge 等價構成乙個等價關係，所有相互Wadge 等價的集合...
是否存在乙個 無法判定為有理數或無理數 的實數？
宙宇001 定義實數a如下 若康托爾連續統假設為真，則a 1 若康托爾連續統假設為假，則a e 類似如此，那麼實數a可不可以判定，取決於連續統假設可不可判定。那麼這樣就可以看出來，存在與否可以變成，有沒有不可判定的命題。 hhh 有，因為證明是一段有限文字。設符號有無限個，那麼把符號排列。設a1是第...