1樓：
任意兩個無理數a＜b，記c=（a+b）/2，如果c是無理數，則命題已經成立。如果c是有理數，則（a+c）/2是無理數，命題成立
2樓：sfmmdm
首先易證有理數和實數具有稠密性。
反證法：假設無理數不具有稠密性，即 是無理數且 ，使得區間 中沒有無理數。
根據實數的稠密性， 中一定有實數，因此對於 ， 是有理數。
有理數集是乙個可數集，所以 的集合作為有理數集的子集一定可數，而任何實數的區間都是不可數集，矛盾。因此對於 是無理數且 ， 是無理數且 。
3樓：謝淩曦
設 是一對無理數，則：
如果 和 都是有理數，那麼它們的和與差也都是有理數，也就是說 和 都是有理數，也就是說a和b都是有理數。矛盾。
因此 和 中，至少有乙個無理數。
利用類似的方法，可以證明：如果 是一對無理數，那麼對於所有（無數個） 到 之間的有理數 ，集合 中，至多只有乙個有理數——而這集合裡的所有數，都是在 和 之間的。
4樓：落葉子
不妨設a,b為任意兩無理數且a≤b
易知a ≤ (2a+b)/3 ≤ (a+2b)/3 ≤ b若二者均為有理數則推出a,b為有理數，矛盾故二者至少有乙個為無理數
故兩無理數間至少有一無理數
5樓：安先生
實際上就是無理數的稠密性。
關於無理數的稠密性
定理2 兩實數間必有兩不等有理數。
定理3 兩有理數間必有無理數。
具體證明見上鏈結
6樓：落葉
首先我們證明引理(1): 兩個有理數之間一定存在無理數。任取不相等的有理數a、b，任選(0,1)之間的無理數c，定義d = (1-c)a + bc，顯然d介於a、b之間，且d為無理數（否則c可以被由有理數a、b、d組成的四則運算算式表達，推出c為有理數、與c為無理數矛盾）。
引理（1）得證。
接下來證明題中命題：兩個無理數之間一定存在無理數。任取不相等的無理數x、y，用反證法，假設x、y之間的數全是有理數。
任取x、y之間兩個不相等的有理數a、b（可以做到，因為x、y之間存在兩個不相等的實數(x+y)/2、x/3+2y/3)，由引理(1)可知a、b之間存在無理數d，而d也介於x、y之間，與假設矛盾。命題得證。
7樓：伍易東
隔壁都在說「實數的稠密性」，那個是個結論，所以不能作為證明。
我這是證明：
假設兩個無理數 不相同
考慮它們的十進位制展開
， 就是位數。
(1) 因為是有限的，所以存在 使得對於任意 I" eeimg="1"/>都有 。
(2) 因為是無限小數，對於任意小的 ，都存在 ，有 0" eeimg="1"/>。
(3) 因為是十進位制，所以 。
對於任意 成立。
(1) 能找到某個位數 ，使得
1. ；
2. 對於任意 j" eeimg="1"/>成立。
直觀地說，就是 位前面的數字一模一樣。
那現在就簡單了，假設 y_y" eeimg="1"/>，
令 根據(2)有 0" eeimg="1"/>
\bar" eeimg="1"/>
再有由於
和 0\Rightarrow \bar>y" eeimg="1"/>。
所以， \bar>y" eeimg="1"/>，且 是有限小數，也就是有理數。
我們就找到了兩個無理數中間的有理數了。
注意到算式子
無理數+有理數=無理數
（否則，會導致有理數-有理數=無理數的荒唐結論）
所以，令
就有 \bar>z>y" eeimg="1"/>啦！
根據以上那個式子，就知道 一定是乙個無理數了。證畢。
如何證明任意兩個無理數之間一定存在至少乙個有理數？
氯乙烯 1.首先我們從無理數定義開始，根據戴德金分劃，把全體有理數分成上下兩組，下組為A 上組為A 如果為有理數a,則a A a A 規定把等於放在上組如果是無理數a a A ab 那麼定義a的有理數下組A 肯定比定義b的有理數下組B多，也就是是A B不為空，如果為空，也就是說a與b之間沒有理數，則...
兩個有理數之間必然存在乙個無理數，兩個無理數之間必然存在乙個有理數，但是為何無理數多於有理數？
MAN 翻譯一下 任意兩個有理數之間必有無理數 任意兩個無理數之間必有有理數。換句話說 沒有兩個無理數或有理數是 相鄰 的。既然沒有無理數是相鄰的，無理數是怎樣做到比有理數 多得多 的？這似乎是矛盾的。 因為這個問題表述不夠細緻容易在直觀印象上引起歧義。兩個有理數之間必然是有無數個 多於乙個 無理數...
為什麼兩個無理數相加可得有理數？
威宸 個人感覺哈 1.4142135623.0.4142135623.1 順便說一句，其他答案好高階啊我看不懂，而且用高中大學的理論給初中生解釋的話理解上還是有困難的 幷州達人 假設這個運算符號寫作，某個集合滿足以下條件，可以稱為群，1，閉合性，對於這個集合裡任意兩個元素a，b，ab得到的結果一定也...