1樓：千年語
注意我用方框標出的結論。
有理數在實數範圍內的稠密性，可以將實數（有理數或者無理數）逼近成有理數，逼近後的兩個有理數取中值即可。
無理數的稠密性運用了有理數稠密性結論，
在任取的實數x減去根號二，. y.減去根號二中，一定有個有理數r存在，所以同加根號二，得到x小於r加根號二小於y，r加根號二是無理數。
2樓：hhh
因為任意兩個有理數之間有無數個有理數和無理數。同時任意兩個無理數之間也有無數個有理數和無理數。所以有理數和無理數都是稠密的。
3樓：李鴻儀
有理數的稠密性比較容易證明，比方說根據其整數之比的定義，很容易證明兩個有理數的算術平均值還是整數之比即有理數，且這個過程可以一直進行下去。但根據阿基公尺德性試圖證明任意兩個無理數之間可以插入有理數的證明是錯的(實際上相當於要證明有理數比無理數更稠密)，實際上無理數要更稠密得多:任意兩個有理數之間都有無限個無理數。
詳見拙文
LeeHYb：用戴德金分割定義無理數中的問題
4樓：阿列夫零
乙個子集在拓撲空間中是稠密的，當且僅當它的閉包等於全空間。
所以要證明有理數集、無理數集在實數集中稠密，只需要證明它們在標準拓撲下的閉包是整個實數集。注意到 上有度量結構，其子集自然地成為度量空間，所以其閉包可以通過集合中任意柯西列極限收斂的完備化來構造。所以，問題等價於：
在 中稠密 任意無理數都可以表示為某個有理數柯西列的極限在 中稠密 任意有理數都可以表示為某個無理數柯西列的極限1的正確性是顯然的，因為10進製小數表示某個無理數，本質就是有理數的逼近。2的正確性可以通過如下構造來解釋：從任意乙個無理數開始，作為數列第一項；將此無理數和要逼近的有理數都記為小數表示，然後數列第 項是把第 項小數點後第 位改成有理數這一位對應的數。
那麼，這一連串無理數顯而易見收斂於給定的任意乙個有理數。得證。
無理數的無理數次冪能是有理數嗎？
e lnx x，這是恒等式。x是任意有理數時，lnx顯然是無理數，e也是無理數。可以。比如根號2的以2為底9的對數次方等於3。根號2和log2 9 是無理數，3是有理數。其次，還有 2的根號3次方 的根號3次方 8根據施耐德定理得2的根號3次方是超越數。超越數肯定是無理數。還有e ln 2 2。還有...
為什麼 有理數 無理數 實數 ？難道實數中除了無理數和有理數沒有別的了嗎？
MAN 如果以現在的眼光來看 曾經，隨著 2一類數的發現，這類數不能歸為，則範疇要擴大。會不會有第三類數？取決於前兩類數的定義方法 是否能表達為兩個整數之比。根據 排中率 只有 是 與 否 不會有第三種。 Ywztms 實數是被定義出來的。首先定義出自然數，整數，然後用整數定義出有理數，再由有理數定...
為什麼兩個無理數相加可得有理數？
威宸 個人感覺哈 1.4142135623.0.4142135623.1 順便說一句，其他答案好高階啊我看不懂，而且用高中大學的理論給初中生解釋的話理解上還是有困難的 幷州達人 假設這個運算符號寫作，某個集合滿足以下條件，可以稱為群，1，閉合性，對於這個集合裡任意兩個元素a，b，ab得到的結果一定也...