為什麼有的無理數可以用有理數表示？

1樓：宇宙的琴弦

這是可以證明的（一些無理數的平方是有理數）

以根號2為例，證明根號2是無理數：

證明：若根號2是有理數，則設它等於m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質）

所以（m/n）^2=根號2 ^2 =2

所以 m^2/n^2=2

所以 m^2=2*n^2

所以 m^2是偶數，設m=2k（k是整數）

所以 m^2=4k^2=2n^2

所以 n^2=2k^2

所以 n是偶數

因為 m、n互質

所以矛盾

所以根號2不是有理數，它是無理數，故得證。

以此類推，根號3等等無理數也可以證明自身的平方是有理數，即有些無理數可以用有理數表示。

根據有理數、無理數的定義，可知：

有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。無理數是不能由整數的比率（或分數）構成的數字。

也就是說，無理數不能用分數表示，不代表不能用有理數表示。

有理數和無理數還有以下兩點不同：

1.性質不同

有理數是「數與代數」領域中的重要內容之一，在現實生活中有廣泛的應用，是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角座標系、函式、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。無理數，也稱為無限不迴圈小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會迴圈。

2.範圍不同

有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。無理數是指實數範圍內不能表示成兩個整數之比的數。

簡單的說，無理數就是10進製下的無限不迴圈小數。

在初等數學範圍內，可以用有理數表示的無理數（如根號2）和不能用有理數表示的無理數（如自然對數的底數、圓周率）沒有區分的價值，區分這兩類無理數並沒有多大的意義。

為什麼現在圓周率比根號二更有名氣呢？我們看數學的歷史，根號2直接引起數學危機，開始的時候非常敏感，但隨著無理數的誕生之後，根號2就非常普通了。而隨著數學的不斷發展，計算越來越精確，尤其了微積分的發現，人們才發現圓周率的秘密，發現這個簡單的數非常不簡單，居然是個物理數。