1樓：radonfang
在下想的乙個比較奇葩的思路，也很通俗，閣下或可一試。任何有理數都可以表示為兩個整數m和n的比值，即m/n，那麼它們之間的最小間隔為m+1/n，且有理數加無理數等於另乙個無理數。那麼m+任意小於1的無理數/n必然大於m/n，即可證明無理數較多。
2樓：thehand
反駁不了。按你同學的定義，無論你拿多少個元素出來，總能從乙個無窮集合中拿出同樣多的元素。所以任意兩個無窮集合總是一樣多的。
我覺得這個問題的答案是顯然的，你不可能說服所有人。
3樓：
給乙個反例就可以輕鬆擊垮他的邏輯，如下。
比如說在某個有限區間上的一次函式(k≠0)，當你將其視為函式時由於一一對應關係，按他的說法就是你拿出來多少x我就有多少y反之也是一樣，這是他的定義前提。那麼下面有趣的地方來了，如果我將這個定義域線段旋轉至函式所對應影象，那麼顯然我們定義域的長度是不足以覆蓋整個影象的，至少是短了一截，那麼如果按照你同學的定義，我現在可以從值域裡面找到不與定義域中任乙個x對應的東西，而x都能和值域裡的乙個y對應，那就說明值域是不是就比定義域所含點的個數多了呢?但是我前面從一次函式的視角看他們倆是一樣多的啊，你現在可以再檢查一下我前面的論證過程是合理的，是邏輯正確的推導，那麼出發點不同而又在正確論證下得出了矛盾的結論，那麼問題出在哪呢?
注意到我前面用了乙個前提定義，就是我們先假設按照你同學的所謂"個數相等"這個定義來，那麼可以說就是他這個前提有問題，是錯誤的。乙個反例就可以擊潰他所謂的合理性，但是你第一眼看他的說法，你會有一種感覺他是正確的錯覺，這是因為他這個定義是在一定條件下是正確的，即有限集合，而在無限集合中存在實在的反例，那麼他這個定義就不是一般性的，即不能用這個定義來判斷兩個集合個數是否相等。但是我們在現實生活中已經有了更好更一般的定義方法(存在雙射)，儘管可能是有違直覺的，但是直覺是什麼呢，只不過是你習慣見到的東西，而有違直覺就好比突然出現了外星人，你不能只根據你有限的經驗去否定你沒見過的東西的存在。
乙個人還是要多加思考比較好，學會傾聽一切思想觀點，但又要保持自我，以審慎的態度對待新的思想。
補充一下，我是通過舉反例的方式來得出你同學的定義是有問題的，而不是說我是在已知了無理數和有理數不一樣多的事實下做出的用結論來解釋結論的無意義回答。如果你的同學已知無理數和有理數是不一樣多的，但他想通過重新給相等乙個新的非嚴格定義來試圖用直覺來糾正客觀現實，這是不可取的，因為我按他的思維得到了現實中的矛盾，故他的定義不可取。看了一些其他人的回答不是逃避問題裝格調，就是藉著已有的數學大廈來說如果不用康托爾的定義就得不到許多美妙的結論等等，這都是解決不了實際問題的，並不能讓我們這些想知道問題本質的人有乙個直觀清晰的理解。
4樓：Timothy
他並沒有證明無理數和有理數一樣多。
你同學證明了任意區間可以取到同樣有限多的N個有理數和無理數；因為都來自無窮多的集合，取有限個當然可以。
5樓：
拋磚引玉乙個。某種思想跟對角線法很像啊有木有？
證明任意集合的冪集元素比該集合多的時候是怎麼證明的？我冪集裡有這麼多元素，你原集裡就是拿不出這麼多。你原集裡的元素來乙個乙個跟我單挑，每乙個都同歸於盡，最後我就是有元素躺贏，你拿不出這麼多元素來跟我同歸於盡。
對角線法只不過把有限的N推廣到了任意個數，很像呀。
6樓：馬同學
這個問題之前也思考過，這裡嘗試給乙個通俗的回答。
1 非負偶數和自然數一樣多
這裡以非負偶數集為例：
它可以和自然數建立一一對應關係：
所以在集合論中說自然數和非負偶數一樣多。
2 非議
很多人就反駁說，按照下面這樣也可以建立自然數和非負偶數的一一對應，那麼很顯然自然數包含的元素更多：
集合論的解釋是，只要能夠建立一一對應就說明兩者基數一樣，而不是說必須只能一一對應。
下面嘗試通俗地解釋一下，比如像下面這樣，可以看出兩隻手的手指是一一對應的，因此兩者是相等的：
但雙手換成下面這樣就不是一一對應的了：
你能因此說兩隻手的手指不相等嗎？
7樓：小雨可白
眾所周知，有理數和整數一樣多，整數和自然數一樣多
也就是說，每乙個有理數都可以對應到乙個自然數
假設已經用所有自然數對應到了所有的無理數，也就是說已經用盡了所有的自然數和無理數
我們抽取第乙個無理數的小數點後第一位，抽取第二個無理數的小數點後第二位，以此類推，最後得到乙個數字
我們改變這個數字的每一位數，這使得他與之前的每乙個無理數都不同，但它仍然是乙個無理數，與假設矛盾
如果他問怎麼證明每乙個有理數都可以對應到乙個自然數，就回答「你取有理數N個，我也一定有自然數N個」
8樓：exiledkingcc
更新：此方法有誤，請忽略。。。
原回答：
他找不到這麼多的有理數。
最簡單的做法：
你同學找到N個有理數，
你把這N個有理數都加上π，然後得到了N個無理數，再把這N個無理數加上e，又得到了N個無理數，一共2N個無理數。
就是你能找到的無理數，至少是你同學能找到的有理數的兩倍，所以無理數比有理數多。
補充：反過來不行，所以可以證明無理數比有理數多。
9樓：緣溪行
一根一公尺長的直線
一根兩公尺長的直線
兩公尺長的直線能取n個點一公尺也能取n個
所以倆玩意一樣長？
從你取的那一剎那，無限就變成有限了。
10樓：Chizhong Jin
給定 c" eeimg="1"/>以及 c" eeimg="1"/>，那麼 和 是什麼關係？
可能大於 ，也可能小於 ，還可能等於 ，簡稱有毛線關係。
給定任意 ，有 N" eeimg="1"/>以及 N" eeimg="1"/>，那麼 和 什麼關係？
11樓：
我當時是這麼想的
所有的有理數，加上根號二都是無理數，根號二可以用其他很多很多無理數替換，這樣無理數不就是比有理數多得多嗎？
12樓：
先取n個有理數a1,a2,…an，然後取定無理數為前面n個有理數的分別加上根號2構成的n個有理數，還能加上分別加上根號3，這樣就比他多n個了。
13樓：
你那個N（只要是可數，即有限或可列）都太小了，說明不了問題。
就好比，從馬雲那也能取一萬以內塊錢，從我這也能取一萬以內塊錢，但這不代表我擁有的錢和馬雲擁有的錢一樣多。
馬雲取一億的時候，我就取不了這麼多了，因為我沒有。
無理數不可數，有理數可數。那你取可數個的時候，當然都能跟上。無理數取不可數個，你讓有理數也取來試試？
14樓：fsf王
呃，關鍵其實是你的同學不知道康托爾對角線法。他的那個一樣多實際上是不成立的，因為他預設了有理數是可以與無理數一一對應的，但事實不是。
關鍵邏輯在於，他既沒有證明也沒有證偽，而是僅僅給出了乙個自己的判斷，那自然是要甄別的。
（我不建議使用阿列夫之類的概念跟別人說話，以及等勢的概念，因為說明白是清楚才是最重要的）上面的矛盾本身就來自於假設非事實。
15樓：
先挖個坑，慢慢寫……
涉及集合論點集拓撲入門姿勢
無窮的濃度：（我說叫濃度是因為不知道漢語叫啥……）Aleph0: 可數無窮大。
首先先定義一下自然數有Aleph0個。所謂的可數，不是用手指可以掰出來的可數，而是可以和自然數形成滿單射（漢語好像是這樣的？）。
說人話就是如果乙個集合可以和自然數互相形成一一對應關係的話就是有aleph0個。
Aleph1:手冷，等回家了再改……
zfc：等我我去查查人話咋說……
結論：……冷
16樓：好好學習天天向上
這個問題其實很簡單，但是對於沒有學過相關概念的，題目中的錯誤理解卻也是普遍的。
題目中某位的言論是，【假設無理數找出n個，那有理數也一定能找出n個，所以無理數有理數一樣多】
這能說明有理數和無理數一樣多嗎？當然是不能的。
這只能說明，有理數集和無理數集，都不比自然數集少
產生這個錯誤的原因在於，將比較有限集合中元素數量的方法用在了無限集合
其實，如果我們把這種「樸素」的比較方法用更「數學化」的語言描述一下的話，大概是：
1、將集合中的元素對自然數做乙個對映，比如n個元素，對應自然數1～n，這個自然數的集合記為S
2、比較S中最大元素的數值，就可以判斷兩個集合「哪個元素數量多」
對於有限的集合，當然可以這麼做，實際上即使你沒有學過任何數學知識，人腦中最樸素的比較集合元素數量的方法就是如此
但是在無限集合中就可能出現問題了，對於某些集合，比如無理數集，是無法讓自然數集對其一一對映的
這時候，用所謂的數量比N多這種描述就是完全沒有意義的
因為再大的乙個有理數的集合，也無法對無理數做出乙個完整的對映
以上是盡量去除一切難以理解的數學語言的乙個表述，嚴謹性可能有問題，但是大致說明問題是可以的
17樓：hhh
可以反駁，
關鍵是取n個他就是可數了，有理數也是無限，沒問題，N→N，但是區別是可數和不可數，也就是有理數沒法子與無理數一一對應。你可以給他純無理小數，讓他去對應有理數，看他能不能辦到。
很顯然是辦不到的。
我們設實數列出來是這個樣子的。
0.728356868868568……
0.755564186835521……
0.172655353356552……
0.275315367113698……
0.123577641598389……
我們令該小數的第n位與第n個數中的不同。
如0.12456……
那麼這個數至少有一位與上面列出來的不同。所以矛盾，因此該無理數不在列表裡，矛盾。
然而或者也可以用其他的函式，第f(x)位與x個實數的第f(x)位不同，或者從第二位開始，或者分別與第1，2，3，4，5……中的2，1，5，4，3，……位不同，然而，這樣也是至少有一位與上面列出來的不同，這樣也是不可數個。也就是至少有不可數個無理數沒列出來。
同樣的，有些說0.33333333……是0.3，0.
33，0.333……的極限，所以能在這裡找到就認為實數可數。但0.
33333……是無窮位，而通過0.1，0.2，0.
3，……0.01，0.02，0.
03……這樣列出來是有限位，也就是只能列出有限小數，所以找不到0.333333……在哪。
18樓：知乎精英
給出任意 個無理數，我們確實能給出N個有理數，這是沒有錯的。
但是如果要推出無理數集合的基數等於有理數集合的基數，那我們至少還需要 以及 ,這樣才能保證結論成立。
但是顯然， 並不成立，所以這個論證不是堅實的，你需要先論證 或者 ，然而我們都知道二者都為假，所以...
如果,那麼這個論斷自然是不成立的，因為 而 \left | \mathbb \right |" eeimg="1"/>，所以你無法取N個有理數，但你可以取N個無理數。
這相當於在說，我可以給乙個函式，讓任意乙個處於集合S的數s都對應乙個基數為s的獨特的無理數子集，再給乙個函式，讓任何乙個屬於集合S的數s都對應了乙個個基數為s的獨特的有理數集合的子集。然後說，只要我能夠構建這兩個方程，那麼無理數集合的基數和有理數集合的基數就是等同的。（更嚴格的情況下，無理數和有理數的子集的集合並非窮盡了所有子集，而是窮盡了那些可以被分成chain的子集，但是這裡引出的問題更大）
如果這兩個函式都是滿射的話沒問題，但問題是對任何s你能舉出s為基數的無理數集合僅僅代表這個函式是單射的。如果你說第乙個函式是滿射的，那麼你已經乞題了——因為你已經假設了該函式值域的的大小來允許你這樣做。
至於說什麼定義一類的答案...圖里總共就六句話，我相信這個人沒有，也沒有想過要定義什麼東西，除非他對「定義」一詞有什麼誤解。這只是乙個很普通的謬誤，原因是沒有細想「大於」的標準。
注意這裡是標準而非定義，如果你覺得這算定義的話那麼你會需要假設他處於乙個需要給出定義的語境，然而根據上下文來看我們至少看不出來是這個語境，所以這裡給出的是標準。定義和標準的區別在於：標準有理念論的傾向，它認為存在唯一乙個「真」的大小的概念，而定義則沒有這種傾向（固然你可以有這種傾向，這種情況下的話定義者會承認「真的大小和我的定義沒有任何關係」）。
再進一步，題主問的問題是如何反對，既然要反對對方那麼我姑且認為對方是在說服題主。如果對方給出的是乙個定義，那麼這裡沒有任何需要「說服」的地方--都是定義了，要說服什麼？你可能會回答「說服題主接受這個定義」，但其實題主同意了乙個非定義的答案，所以這至少說明題主不認為他在被說服接受乙個定義，而題主是目前最清楚情況的人，所以我們都假定他認的同語境就是確實的語境，不然你根本無法回答這個問題，因為你可以說「我懷疑題主騙我，根本不存在這樣乙個朋友，一切都是你自導自演」。
我們這時候如果假設題主和題主的朋友都在地球上，享有和普通人一樣的對比大小的直覺，加之又沒有任何語境提示你這裡在下定義，再加上我們肯定題主和朋友在互相說服，那麼這裡就不是在下定義。
如何證明有理數與無理數的稠密性？
千年語 注意我用方框標出的結論。有理數在實數範圍內的稠密性，可以將實數 有理數或者無理數 逼近成有理數，逼近後的兩個有理數取中值即可。無理數的稠密性運用了有理數稠密性結論，在任取的實數x減去根號二，y.減去根號二中，一定有個有理數r存在，所以同加根號二，得到x小於r加根號二小於y，r加根號二是無理數...
如果存在乙個函式，代入有理數後得到無理數，代入無理數後得到有理數，那麼這個函式是否一定不連續？
雨雪晴 定義 如果 是拓撲空間 的子集滿足存在連續對映 使 即 那麼就稱為 可 Wadge 歸約到 記為 如果 則稱 是 Wadge 等價的.見 Ke 對於題主的問題，非常簡單，由於有理數集 是真 集，無理數集 是真 集，所以 不成立.Wadge 等價構成乙個等價關係，所有相互Wadge 等價的集合...
兩個有理數之間必然存在乙個無理數，兩個無理數之間必然存在乙個有理數，但是為何無理數多於有理數？
MAN 翻譯一下 任意兩個有理數之間必有無理數 任意兩個無理數之間必有有理數。換句話說 沒有兩個無理數或有理數是 相鄰 的。既然沒有無理數是相鄰的，無理數是怎樣做到比有理數 多得多 的？這似乎是矛盾的。 因為這個問題表述不夠細緻容易在直觀印象上引起歧義。兩個有理數之間必然是有無數個 多於乙個 無理數...