1樓：拓跋景帆
我們看一下 時它是什麼東西： ，著名的Grandi's series。雖然它是發散的，但我們知道在很多意義下它收斂到 。
特別地，如果把它寫成 ，並重組括號變成 ，級數就收斂到 。
受如上事實啟發，我們考慮定義 ，則 。如果我們能證明 在 上一致收斂於 ，由一致收斂保持函式連續性就（基本上）完成了證明。因此，我們考察餘項，有
由於 0" eeimg="1"/>，第二行的式子把括號全部去掉也是收斂級數，因此我們把括號去掉並按四項重組：
現在的問題顯然變成了估計括號中的每一項。記 ，連用兩次中值定理有
於是即餘項在 上一致趨於0，因此 在 上一致收斂於 。我們知道在 上一致收斂的連續函式列必定在 上一致收斂（證明見下），因此 在 上一致收斂於的連續延拓 。因此所求極限為 。
注：設 是拓撲空間， ， ，函式列在 上連續，在 上是一致的Cauchy列，則在 上也是一致的Cauchy列（進一步，若 是完備度量空間，則 在 上一致收斂）。
證明：任給 0" eeimg="1"/>，存在 ，當 時 。注意 是連續函式，因此 是 中的（相對）閉集，且包含 ，故 ，即當 時 。
由值域為完備度量空間中一致收斂的Cauchy判別準則，在 上一致收斂。
（注意取子列趨於 中點的做法是無效的，因為在 中點不一定第一可數，即不一定有可數鄰域基。）
2樓：予一人
首先，依 判別法，對 0" eeimg="1"/>收斂，而這無非是說 對 收斂，於是作為其子列， 也收斂，且收斂於同樣的和。
依 中值定理，存在 使得
其中，0)." eeimg="1"/>進而就有命 即得
這時，我們很清楚
所以命 依夾逼定理，即得
如何證明數列極限的唯一性？
原提問的證法 同濟高數第七版的證法 我才剛剛預習這部分內容，也是搞了一會兒才明白，藉此回答一下，也給後來像我這樣的人一點幫助。證法一已經有答主解釋得很好了。我這裡講講證法二，是同濟高數第七版中的證法，首先 1 式可得a a b 2。所以只是純粹絕對值等價變形，並沒有單純去掉絕對值看某一邊。 風雪歡歌...
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大音希聲 1 當 a 為有限數 任取 0 上極限是 a，所以存在正整數 N1，當 n N1 時，Xn a 下極限也是 a，所以存在正整數 N2，當 n N2 時，Xn a 令 N max N1，N2 當 n N 時，Xn a 即數列 Xn 收斂到 a 2 當 a 為 下極限是 所以對於任何有限數 A...
關於數列極限的開方運算該如何證明？
首先，實分析中的開方運算一般只考慮非負的 1 然後，不要總是追求用現在的知識回答全部用現在知識敘述的問題。比如用數列極限提出的問題，不一定能僅用數列極限的方法解決。這是學習數學時應該形成的重要認識。事實上，想要系統說明開方運算需要用到指數函式，進一步地，需要用到冪級數。不過這裡只需要用到冪運算的特例...
如何證明如下無窮乘積極限為0？
人間謫仙 記方法一易見 單調遞減且有下界為0.因此可設 根據Stolz定理有因此 方法二根據Bernoulli不等式,得 1 frac frac.eeimg 1 因此由於 0 eeimg 1 從而 根據夾逼準則知 梧桐鹿 設 是一列實數,我們將形式積 稱為無窮乘積.記 為部分乘積.如果某個 為零,則...
如何用極限的定義來證明函式極限的四則運算？
補一個除法的詳細證明,加減乘隨便一搜都能找到很多,就不寫了 首先,設 在已經證明了乘法法則的前提下,為了證明除法法則,我們只需證 預設已經從 中去除了所以零項 我們現在知道的只有 0 exists n N Rightarrow b n M varepsilon eeimg 1 我們想證的是 0 ex...