1樓：
補乙個除法的詳細證明,加減乘隨便一搜都能找到很多,就不寫了
首先,設 , .
在已經證明了乘法法則的前提下,為了證明除法法則,我們只需證 (預設已經從 中去除了所以零項).
我們現在知道的只有 0\ \exists \ [n>N \Rightarrow |b_n-M|<\varepsilon ]" eeimg="1"/>,我們想證的是 0\ \exists \ [n>N \Rightarrow |\frac-\frac |<\varepsilon ]" eeimg="1"/>.
從已知條件出發沒什麼頭緒,那就看看目標.
進行化簡,可以得到 .
再繼續考慮,我們目前最大的困難在於, 是乙個變數,不太好找到乙個恰當的常數直接替換,那麼進行放縮.
乙個自然的想法是, 和常數 應該是具有某種大小關係的(我們暫時也找不到其他合適的常數).怎麼找呢?在已知條件中令 ,之後由三角不等式( )進行化簡,可以得到 ,繼續帶入,得到 .
為了讓這個式子等於 ,在已知條件中取 ,再帶回即證.(這一步和乘法的證明類似)
思路來自小平邦彥的微積分入門(實際上是本數分)
2樓：甲基苯炳氨
數列極限四則運算法則的證明
設limAn=A,limBn=B,則有
法則1:lim(An+Bn)=A+B
法則2:lim(An-Bn)=A-B
法則3:lim(An·Bn)=AB
法則4:lim(An/Bn)=A/B.
法則5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整數)
(n→+∞的符號就先省略了,反正都知道怎麼回事.)
首先必須知道極限的定義:
如果數列和常數A有以下關係:對於ε＞0(不論它多麼小),總存在正數N,使得對於滿足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,
則稱常數A是數列的極限,記作limXn=A.
根據這個定義,首先容易證明: 引理1:limC=C. (即常數列的極限等於其本身)
∵limAn=A, ∴對任意正數ε,存在正整數N,使n＞N時恒有|An-A|＜ε.①(極限定義)
同理對同一正數ε,存在正整數N,使n＞N時恒有|Bn-B|＜ε.②
設N=max,由上可知當n＞N時①②兩式全都成立.
此時|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.
由於ε是任意正數,所以2ε也是任意正數.
即:對任意正數2ε,存在正整數N,使n＞N時恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.
由極限定義可知,lim(An+Bn)=A+B.
大學高數函式極限請教，怎麼用定義證明趨於無窮時極限不存在？
龔漫奇 因為 1 e x ln 1 E 實際上 1 e x 等價於 1 e x等價於 e x 1 E 等價於x ln 1 E 而 x ln 1 E 是推不出 x ln 1 E 例如x 1，E 1時，雖然 x ln 1 E 也就是 1 ln 1 1 成立 但是 x ln 1 E 也就是 1 ln 1 ...
圓周率 應該如何用極限表示？是否可用極限定義圓周率 ？
traveler 反正按rudin上說的，可以先用無窮級數定義e的次冪，再用e的復數次冪定義三角函式，最後 的話，把他定義成inf xR sin x 0 就好了。只不過這樣定義不直觀，但好處在於不會有迴圈論證出現 比如你先用 定義了弧度制，再用弧度制積了個分算出 然後說你定義了 這只是理解方式的問題...
函式極限定義 是不是 錯了？
Mycroft 大一的時候上高數課，有個同學下課找老師提問，說覺得有個定理錯了，老師大吃一驚，忙問她哪兒錯了，她思考了幾秒鐘，看著老師誠懇地說道 具體的也說不上來，但是我感覺就是錯了。後來老師又跟她解釋了多久我已不知道，我已經趕快逃離了現場，心疼那個老師 不好意思跑題了，不過現在的年輕人啊，總想一下...