1樓：
首先，實分析中的開方運算一般只考慮非負的[1]。然後，不要總是追求用現在的知識回答全部用現在知識敘述的問題。比如用數列極限提出的問題，不一定能僅用數列極限的方法解決。
這是學習數學時應該形成的重要認識。
事實上，想要系統說明開方運算需要用到指數函式，進一步地，需要用到冪級數。不過這裡只需要用到冪運算的特例，因此倒是不必這麼麻煩。
設 是數列， 證明
我們證明函式 是連續函式。利用反函式的連續性，只需證明 是連續函式。顯然恒等函式是連續函式，利用乘積函式的連續性和數學歸納法即可。
又因為數集 上的函式 是連續函式的充要條件是對於任意 和 上的數列 當 時 所以原結論成立。這裡應用的結論在一般的數學分析教材上用海涅定理容易得到，也是拓撲學的基本思想。
2樓：自學生
首先是乘法得到平方面積立方體積。然後才有開方的先後時間程式，都是前後一對時間和正中一對統一的時間同步共性個性內和外，對和半的任何什麼問題的統一時間系統原理的證明模型。詳細過程《大自然的正反規律》可以證明。
3樓：zdr0
題主的命題是有瑕疵的，你的命題中的序列 必須是非負的。且你的命題中的 必須是屬於的。
下面我來證明乙個更為一般的命題：
設 是定義在 上的序列，且 。設 ，則：
的證明是比較繁瑣的。首先我們需要證明三個引理。
設 與 是兩個序列，且設
，且設對於所有的
有 (實際上只要存在乙個
，使得對於所有的
n_0" eeimg="1"/>都有
就足夠了)。則
。我們假設
b" eeimg="1"/>，並置
0" eeimg="1"/>。對於
，存在乙個
，使得對於所有的
n_a" eeimg="1"/>都有
。對於，存在乙個
，使得對於所有的
n_b" eeimg="1"/>都有
。對於\max\" eeimg="1"/>，有：
這與對於所有的
， 是矛盾的。
對於任意的
，且有：
對於第乙個不等式，我們假設
。由於對於
有：，因此有：
\left(\sqrt[k]\right)^k\,\Leftrightarrow\,a>b.\tag" eeimg="1"/>
這與是矛盾的。
對於第二個不等式，我們設
\sqrt[k]\,\Leftrightarrow\,\sqrt[k]>\sqrt[k]+\sqrt[k]" eeimg="1"/>。再次由於對於
有 ，因此：
\left(\sqrt[k]+\sqrt[k]\right)^k\\&=\sum_^\left(\sqrt[k]\right)^j\cdot\left(\sqrt[k]\right)^\\ &=\left(\sqrt[k]\right)^k+\left(\sqrt[k]\right)^k+\underbrace^\left(\sqrt[k]\right)^j\cdot\left(\sqrt[k]\right)^}_\\ &\ge b-a+a=b. \end\\" eeimg="1"/>
即 b" eeimg="1"/>是乙個矛盾。於是假設均不成立。
另外請題主自行驗證：
對於任意的 ，且 有：
設 與 是定義在
上的兩個收斂序列。並設
。則有：
由於每個收斂序列都是有界的 ，因此 蘊含了
是有界的。也就是說存在乙個
0" eeimg="1"/>，使得對於所有的
都有。則：
現在設0" eeimg="1"/>是固定的。則存在
，使得對於所有的
n_a" eeimg="1"/>都有
，此外存在
，使得對於所有的
n_b" eeimg="1"/>都有
。對於\max\" eeimg="1"/>則：
另外乙個輔助命題 是很顯然的，這裡就不再證明了(直接利用序列極限的定義即可證明)：
設 。則：
下面我們就來證明 。證明將分為三個小部分。
顯然，當
的時候我們有
：這部分中我們來證明：
時即為 。後面我們採用數學歸納法。首先當
的基本情況：
顯然成立。進一步我們歸納地假設式
對於已經被證明了，現在我們證明
的情況。則由歸納假設與
得：現在我們要來證明的是：
設 0" eeimg="1"/>是固定的。由
我們可知，存在
，使得對於所有的
n_0" eeimg="1"/>都有
。並且由
， 與，這蘊含了對於所有的
n_0" eeimg="1"/>有：
綜上三部分，最終我們有：
亦可先完成 ，然後固定 ，對 歸納。
4樓：「已登出」
可以先設相關函式利用復合函式求極限的法則，如果你覺得這個也要證，隨便一本教材上都有，搬過來就行，然後利用函式極限和數列極限關係就證出來了吧。
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只需知道a是極限的否命題，即 存在乙個 0，對任意的正整數N，都存在乙個n N，使得a n a 所以你看會出現幾個地方的問題，首先 可能有很多個，但是至少乙個，其次，無論是多大的N都能找到至少乙個大於N的n滿足上面那個不等式 也就是說，正常情況下，證明是a極限時，任意乙個正數 我們都需要找N來滿足當...
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如何用極限的定義來證明函式極限的四則運算？
補乙個除法的詳細證明,加減乘隨便一搜都能找到很多,就不寫了 首先,設 在已經證明了乘法法則的前提下,為了證明除法法則,我們只需證 預設已經從 中去除了所以零項 我們現在知道的只有 0 exists n N Rightarrow b n M varepsilon eeimg 1 我們想證的是 0 ex...