1樓：
關鍵是怎麼理解 .
一般的做法是先定義 ，它恰好是實數集上 的解析延拓，因此就定義 .
別的按照 理解，
那麼然後你可以利用 來做。
但我認為，底數在單位圓上時，與一般的多值復變函式有極大差別，不適合放在一起。
函式，一般要求是單值的，為什麼復變函式裡容忍多值函式？
因為多值函式的多個分支是連在一起的，不得不當作乙個整體，幅角主值選 並不比選 更科學。
我們看函式 ,它應該有三個值。
在 ，我們取 為主值。
讓z繞著原點轉一圈，w呢?繞著原點轉了三分之一圈到達 ，
z繼續繞著原點轉，轉夠3圈，w回到原始位置。
而對於無理數 ,考慮 , 它是無窮多值的，z每繞原點一圈，w會走到乙個新的位置，永遠不會還原。
而底數在單位圓上的情況又有不同，你選定了主值以後，無論你讓z怎麼跑，z回到原始位置時，w一定還在原始位置。
設 那麼
的變化過程不會影響k，只要z回到原位， 和 的值不變，w就回到原位，你一直都在乙個分支上。
你在正實數軸上定義 解析延拓之後會碰到 .
你在正實數軸上定義 隨便你怎麼解析延拓，都不會遇到 .
值得注意的是，如果你嚴格按照 來定義，那麼 都未必是 。
2樓：禾嶴
按照高等教育出版社出版的《復變函式》裡的定義,，其中 ,
當 為整數時，有 ,此時是單值的
當 （ 為互質的整數）時， 有 個值（公式懶得打了）所以，只要 不是整數,這個方程就無解，多值不能等於單值，乙個集合不能等於乙個元素
在這個意義上，我認為@Jaysny
的答案也是錯的的，因為他在取對數的時候預設了 是單值的，但從定義上來說不是這樣（除非別的書上定義不同）。
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