1樓：楊樹森
這是個好問題。我提出一些相對高階的觀點來給出解決問題的方法，當然這些觀點自身也是依靠常規的途徑證明的。以下的敘述將會比較簡略，請讀者自行補充證明。
記函式 雖然它的零點不太好找，甚至導數的零點也不好確定，但是它的二階導數是非常簡單的，所以我們可以利用凹凸性處理這個問題。
我們知道連續函式在單調區間上最多只能有乙個零點，對於是否有零點的判斷，只需考察區間邊緣的狀況。而在凹凸區間上，我們可以確定函式最多只能有兩個零點，而關於它的判斷，請讀者自己考慮。舉個例子，如果在區間兩邊都負，且有正值點，當然有兩個零點。
根據二階導數 的單調性，可以確定 的零點
注意到當 時，由 的單調性可以確定 所以只需考慮 和 4" eeimg="1"/>的情形。在這兩類情況下，函式 有明確的凹凸性。
另一方面，考慮 充分大的情形。當 充分小時顯然 當 充分大時，我們知道指數函式的增長速率比任何冪函式都快，所以 0." eeimg="1"/>
接下來，因為 0," eeimg="1"/>所以根據凹凸性，函式 在區間 上有兩個零點。根據凹凸性，函式 在區間 上有乙個零點。
綜上，函式 有三個零點，即曲線 與曲線 有三個交點。
2樓：格林
我都不知道為啥知乎總給我推薦這種題目，莫名其妙的，感覺自己回到了中學時代
然後回答還有一堆列公式的...emm其實很簡單啊。
乙個開口向上的拋物線，乙個增指數，必定在0左邊有乙個交點，很容易理解。
然後因為這個指數的底數不大，所以一般在右邊也有個交點。
然後因為指數對於自變數的敏感度遠遠大於拋物線，所以必定在x較大處斜率超過拋物線，即在右邊還有乙個交點。
挺嚴謹的，只需要一步數學計算：驗證緊鄰y軸的右側有一交點。
左邊的點和很靠右邊的點都是不用計算的
3樓：某叄
先動腦子想。
一，①2x∧2經過原點，②2∧x經過原點上部。且x＜0時，①式斜率小於②式斜率，所以有乙個交點。隨後在0＜x＜1處，①式斜率大於②式，又有乙個交點。
再然後在x＞1時，②式大斜率於①式。
然後畫圖。
最後計算。
2x∧2＝2∧x
4樓：ivy zheng
令 ,題目等價於求這個函式零解的個數。
當 時， , 單減
當 2-\frac" eeimg="1"/>時， 0" eeimg="1"/>, 單增
（下面這行原來有個計算錯誤，感謝 @Adieu formel 指出，這裡把計算過程也一起列一下吧）
再隨便取兩點看能否使 為正。
0,f'(5)=32\ln2-20>0" eeimg="1"/>
所以 ，使得
，使得即 先減後增，且經過兩次零點；因此
時 0" eeimg="1"/>， 單增；
時 ， 單減；
時 0" eeimg="1"/>， 單增。
f(x)的曲線是增減增，現在需要了解的是關鍵點是大於0還是小於0，從而確定是否穿過x軸。
為了測試正負，我們需要把 的範圍收縮一下。
由於 0,f'(1)=2\ln2-4<0" eeimg="1"/>，因此
由於 0" eeimg="1"/>，因此
因此關鍵點可以取0, 1, 4, 5
0, f(1)=0, f(4)=-16<0,f(5)=-18<0" eeimg="1"/>
再看 很大和很小時（從0向小的方向測試，從5向大的方向測試即可）：
0" eeimg="1"/>
因此 開始是負的，先單增，在 區間穿過一次x軸，變為正；
在 處 達到極大值，開始單減，並在 處第2次穿過x軸，變為負；
在 處 達到極小值，開始單增，並在 區間第3次穿過x軸，變為正，然後單增而去，不再減小。
因此 和 交點個數為3個。
函式真實圖形
5樓：小不點兒-nk
可以手繪草圖，觀察兩函式的大致趨勢；也可使用圖形計算器繪圖，直接顯示交點座標。
y=2^x 和 y=2x^2 的函式圖象
如圖所示，兩函式共有3個交點，座標分別是 (-0.579 , 0.67) 、(1 , 2) 和 (6.32 , 79.878) 。
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