1樓：Colin Ren
若將y替換為-y，表示式不變，則關於x軸對稱；表示式變為相反數，則關於x軸反對稱。
若將x替換為-x，表示式不變，則關於y軸對稱；表示式變為相反數，則關於y軸反對稱。
若將x和y互換，表示式不變，則關於y＝x對稱；表示式變為相反數，則關於y＝x反對稱。
反對稱的情況只針對於被積函式的表示式，對稱的情況對於被積函式和積分域都有效。積分域的對稱性需要定義積分域的所有表示式的集合有對應的對稱性才成立，即所有表示式都經歷某一種變換後，表示式的集合不變。(看起來還是同樣的表示式，但是變換可能使一些表示式互換了)
若被積函式與積分域都關於某個軸對稱，則積分值為對稱軸一側的積分域上的積分的2倍；若被積函式關於某個軸反對稱而積分域關於同乙個軸對稱，則積分值為0。
由於積分的可加性，被積函式中相加減的每一項可以單獨運用以上性質。
若有多個對稱軸，以上性質可以疊加。
以上性質可以逆向運用，比如被積函式擁有對稱性時，積分域通過對稱擴充套件為原來的2倍也許可以形成更簡單的積分域，如三角形區域對稱為方形。
如何理解二重積分的物理含義？
LoveXYZ 若 存在，則 表示面密度 對於你這道題，所以無論 落在哪個象限，均表示面積，也就無所謂正負。對於利用對稱性計算的時候，已經不能用物理意義考量了，也就是 不再要求大於等於0。此題中，關於原點O對稱，而且 所以等於一二象限積分的2倍。然後一二象限部分，關於y軸對稱，而且 所以一二象限部分...
這道二重積分該怎麼做？
雨落清音 我是這麼理解的 1.這個積分區域D的確是關於y x軸對稱，但是如果相等的話，必須把I1裡的x換成y，y換成x，才可以說這兩個最後的積分結果是相等的。但是仔細看，I1和I2在這種對換形式上差一丟丟，所以相等就不一定了。2.相同積分區域，比較二重積分大小最有效的辦法就是比較被積函式的大小。那如...
為什麼二重積分中化為二次積分時積分的上限必須大於下限 ？
莫笑 因為定義二重積分時，每個小區域面積是以dxdy表示，那麼既然是表示面積，則dxdy需大於0。以x為自變數，當上限大於下限時，dx 0，同理以y為自變數，dy 0，這就保證了dxdy 0，也就滿足了定義時的要求。那麼其實可以看出並不是要求上限必須大於下限，累次積分的兩個上限同時小於下限也是可以的...