1樓：鏟屎專業畢業生
不請自來～
偶然看到了這個問題，其他答主的回答沒有錯，我只是來做個知識點小補充。
我剛學微積分的時候也幹過這種「傻事」，其實說傻也傻，說不傻也不算傻——題主只不過是忘記了函式的乙個基本定義：
函式的定義域與值域一一對應。說白了就是乙個X值只能對應乙個Y值，不可能對應兩個Y值。
比如 ，無論x取1還是-1，y都是1。
當然，我們說的是「定義域與值域一一對應」，而不是「值域與定義域一一對應」，所以反過來看，乙個Y值可以對應兩個X值。
比如： ，x = 1 或 -1。
如果利用這個定義，給乙個函式影象做垂線測試（Vertical Line Test）,也就是以座標軸的X軸的某個點作垂線（意思就是這條線完全平行於Y軸），這條垂線在Y的（負無窮，正無窮）區間內，只能與你畫的影象相交一次。
只有相交一次，垂涎驗證才成功，說明這個影象是個「函式」；
如果相交次數大於1次，那就驗證失敗，說明這個影象不是個「函式」，它有可能是個分段函式的影象。
啥是分段函式呢？圓就是。
表面上看，長得挺像個函式的，但你看看這圓的影象……只有從它的最左邊和最右邊作垂線的時候，才能做到只相交一次。其它地方都有兩個交點。
所以應當把圓的上下兩半部分拆開來看，當成兩個函式 —— 即乙個分段函式，也就是：
圓的上半部分：
圓的下半部分：
這時候再代入其他答主的步驟，得到
然後再來補充解釋一下「隱函式」、「顯函式」的知識點，因為這就是我曾經沒有弄明白的地方。放心，很簡單，看完定義就懂了：
我們平時用的，包括剛剛的，都是顯函式，因為y的取值可以用乙個「包含自變數x的算式」來表示；
而圓的方程是乙個「代數函式」，也可以稱為乙個「隱函式」。意思是說，這個函式它不止給出了x的值，還順便給出了方程y的解。
P.S. 只要乙個隱函式的最高次冪小於5——五次方以下的隱函式，都可以找到它的顯函式解。在圓的方程這個例子裡，顯函式解就是 ，求導必須通過顯函式才可以做到。
題主說的沒錯，得出的①式沒有意義。魯迅說過，「隱函式求導本沒有意義，變成了顯函式，也就有了意義。」魯迅
2樓：小雨可白
贊同樓上「曲線方程求導意義不大」，轉換為多元微分來考慮直接求導，也有辦法，求導手法如下
首先，將該函式轉變為顯函式，方便之後代入
那麼對於 ，其導數為
d(x^2+y^2=1)
大概長這個樣子啦
3樓：REX-DL
我說實話，沒有任何意義。因為題主兩側求導就求錯了。
請題主注意，我們通常求導的時候，是要先確定好自變數的。在已知自變數的情況下，我們才能求出合理的導數。而題主求導時沒有注意到這一點。
如果預設 為自變數，那麼前面對 的求導是正確的，但是對 的求導就錯了，因為很明顯 是 的函式，因此求導的時候要將其作為復合函式來處理。因此對 兩側同時求導，應當求出的是 （式中 是 對於 的導數），而不是 。題主應該是直接套用求導公式才得出了這樣的結果，而忽略了求導的含義。
那麼，這樣得出的方程有何意義呢？將得出的方程變形成 。取圓的上半段的方程 代入方程，得到 。
這樣我們就得到了這個曲線（的上半段）所確定的函式 關於 的導數。當然你也可以選擇代入圓的下半段方程，這樣得到的就是圓的下半段所確定的函式 關於 的導數。總的來看，方程 確定的是曲線 的切線斜率對 的多值函式。
給個圖吧，求出來的這個曲線長這樣。
這部分要說清楚的話，就涉及到隱函式求導的理論了。我猜測題主應該還在高中，所以就不多說了。
4樓：庫魯瓦桑
對於曲線的導數，直接求導意義不大，但有特定的求導方式。
就比如剛才圓的方程
轉化為 的形式
那麼對於該曲線，其任一點對應的與其切線垂直的向量為：
這時候才具備幾何意義
如果題主想問的是
即該向量的兩分量為相反數的點
同時可以拓展一下，對於n維曲面 ，其切平面法向量為：
補充一下，這種方法在高數里用的多，以及物理中已知場分布方程求等勢線(面),因為對於復場 其函式 是共軛的並滿足C-R條件 ,所以對於乙個橢圓分布場，常常用這種方法求其等勢場
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