1樓：不為明日歌
如果說任意n個無關的n維向量不夠顯然的話，
不妨選取最簡潔的一組向量空間正交基：
對任意乙個n維向量，只須將上面這個向量組依次數乘欲表示向量的座標值 就能表示，這n個無關向量可以表示任意1個n維向量是顯然的。
證明這組正交基可以被任意n個線性無關的向量線性表示即可。
直觀上理解就是剔除向量之間的同方向向量成分[各個維度]的乙個去冗餘的過程。
而在保證n個向量線性無關的前提下，去冗餘的結果必然是n個正交的向量部分。
再取單位方向向量的過程。
其實質是乙個滿秩的方陣 是否一定可以通過初等行變換轉化為單位陣E的問題，其中 為 維行向量。
推論一僅通過初等行變換就能實現
2樓：Kawhi
這個就是書上定理，看下書就行。
實際上是假設任意n個線性無關的向量分別為
假設要表示的那個向量是
那麼就是
我們要證明的是上面的 都是有解的，你寫一下發現這是個線性方程組，然後根據克萊姆法則一下子就出來了。
3樓：
什麼叫「n維」向量？
理解一：n個數字寫成的n元組叫做n維向量。
那解n元一次方程組就行。用消元法+數學歸納法（對n歸納），可以證明 n個「線性無關」向量可以用於線性表出任意n維向量。
n=1時，「乙個線性無關向量」指 (a)，其中a≠0. 那麼任意向量總可以用它錶出： (b)=b/a* (a)
若n≤k時命題總成立，則n=k+1時，
用a1,a2,...,a(k+1)表示這k+1個線性無關向量，用a(i,j)表示第i個向量的第j個元素。那麼首先，k+1個向量的第乙個數，即a(1,1),a(2,1),...
,a(k+1,1)中至少有乙個非零。否則，這k+1個向量亦可視為由後k個數構成的k維向量，我們就有了k+1個線性無關的k維向量。由歸納假設，這是不可能的！
——因為其中每乙個必可以被其他的k個線性表出。
所以我們不妨設a(1,1)≠0，那麼根據高斯消元法的思路，看向量bi=ai-a(i,1)/a(1,1)*a1，這個k+1維向量的第乙個數被消成了0。此時k個k+1維向量b2,b3,...,b(k+1)是線性無關的k個k+1維向量，且第一項全是0。
由歸納假設，他們可以線性表出第一項為0的任意k+1維向量。所以a1, b2, b3,...,b(k+1)可以表出任意k+1維向量。
進而a1，a2，...，a(k+1)也可以表出所有k+1維向量。歸納遞推成立。
也可以用克拉默法則直接把n元一次方程組的解寫出來。
理解二：乙個對線性運算（加減、數乘）封閉的集合叫「向量空間」。
如果乙個向量空間裡存在某n個向量，他們是線性無關的，但再添上任何向量後n+1個向量就是相關的（也就是說這是極大無關組），則稱這個向量空間是「n維向量空間」。
然後高代裡證明了向量空間的兩個定理：替換定理和維數不變定理。
維數不變定理說的是：乙個向量空間的維數如果存在，那一定唯一。也就是說，如果m個向量是乙個極大無關組，n個向量也是極大無關組，那麼必定m=n。
替換定理是證明這個定理用到的引理。
顯然 「由n個數構成的向量」這種向量空間裡有由n個向量組成的極大無關組 (也就是(100...0) (010...0) ...
(00...01)這n個向量），所以這個空間維數是n。因此這個空間裡任取n+1個向量，必定不是線性無關組。
4樓：JourneyofBoy
可以。維度問題。二維平面，兩個無關二維向量即可表示。其實這個時候聯絡高中學的」基」這個概念，並推廣到n維，你瞬間就明白了。
n維向量空間V中向量的維數是否為n維？
塵月 從這個角度考慮向量的維數是沒有意義的，向量空間的維數對於其向量而言，是外部的性質 因為向量空間有子空間，也可以嵌入更高維的空間，理論上來說這個向量可以出現在任意正整數維數的向量空間裡。 王贇 Maigo 在沒有語境的情況下說 n 維向量空間 一般就會理解成 R n，此時裡面的向量就是 n 維的...
n維向量存在的必要？
善於挖墳的我啊，請樓主分清楚，空間 不一定代表我們的生存的 實體空間 還可以代表很多空間，比如顏色空間可以是RGB三維或CMYK四維表示方法。要知道，只要有 向量 就可以 造 出 空間 比如你要測試一款汽車，最後給乙個綜合評價分。於是你規定測試幾個主要向量，並且這些向量是互相垂直的。1.百公里油耗，...
n維向量是不是n越大，任取兩個向量垂直的可能性越大
樸正歡 這個問題非常簡單，用初等數學就可以計算 單位球面上任選兩個向量，總是可以旋轉座標使其中乙個為 1,0,0,0 旋轉座標系不影響夾角。另乙個向量設為 x 1,x 2,x n 夾角余弦是x 1,由球面對稱性可以得到 1 E x 1 2 x n 2 nE x 1 2 所以n越大，余弦的期望值越接近...