1樓：蘿蔔列夫耶維奇
行列式就行，第一行是向量基，下面n-1行是運算的向量。幾何意義是定向，二維平面上，乙個方向（前方）就可以確定乙個方向「上面」，三維則需要「前」「左」，以此類推，Rn中需要n-1個方向確定第n個方向。至於為什麼用這種行列式，是因為這樣產生的向量可以保證正交與前面n-1個向量，這個不難看出。
還有，在n維曲面積分中，可以算出單位n維矩形對映過去的體積。
2樓：Piojo Claudio
這個問題早就搞清楚了，本質上是問什麼樣的 Stiefel manifold fibration 有 section 的拓撲問題，也和 normed algebra 有緊密的聯絡。見 Whitehead-Eckmann 和 Brown-Gray 的經典文章，比如 Vector cross products 及其中的參考文獻 。
3樓：
Clifford代數裡面將叉乘定義為兩個向量的二矢的對偶。
比如三維中，二矢表示乙個平面，對偶當然就是法向量了。
可以看出來，n維空間中向量的叉乘維度為n-2，因此只有3維情況下，叉乘能得到向量，其它的都是多矢。
4樓：SScream
你要是學習過線性代數的話你可以在維基中搜尋一下外代數（grassmann代數）和外積（wedge product）。
叉積的直觀含義是有向面元，也就是既有大小資訊又有方向資訊的乙個面元。
一般的在n維里它的方向資訊應該是要2個或者(n-2)個不同向向量才能決定的。你可以想象三維裡乙個面的方向既可以由麵裡的兩條不平行的線的方向決定，也可以由麵的法線方向決定。
所以二維的有向面元可以作為標量也就是2-2＝0階張量，而三維的有向面元可以作為向量也就是3-2＝1階張量。
同理四維中的有向面元就只能用2階張量表示了，也就是四維中不存在作為二元運算叉積。
但是你可以在四維裡定義一種三元運算的叉積，它的意義是有向三維體元（面元是有向二維體元），它可以表示為4-3＝1階張量也就是向量，這種運算可以輸入三個向量輸出乙個向量，它的方向是那個三維體元的「法向」。
……手機碼字，只講一下直觀含義，嚴格的數學交給大神們吧。
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