n維向量是不是n越大，任取兩個向量垂直的可能性越大

1樓：樸正歡

這個問題非常簡單，用初等數學就可以計算

單位球面上任選兩個向量，總是可以旋轉座標使其中乙個為（1,0,0,...,0），旋轉座標系不影響夾角。另乙個向量設為(x_1,x_2,....,x_n)。

夾角余弦是x_1, 由球面對稱性可以得到

1=E(x_1^2+....+x_n^2)=nE(x_1^2)所以n越大，余弦的期望值越接近0

2樓：天下無難課

比較贊同"和與忍"的說法。在超過三維以後，難以想象"垂直"的樣子，用兩個向量的內積為零來檢驗它們是否"垂直"是唯一的"直觀"辦法了。但從內積是兩個向量相應的分量的乘積和來看，n越大，就是向量的分量數越多，反映在內積等式裡就是乘積項越多而已。

但怎麼才能推論出乘積項越多，它們的和為零的機會就越大的結論呢？

這個問題等同於隨機選一組數(總數為偶數)，然後隨機兩兩成對，然後相乘，然後把乘積和在一起。題主的意思是這組數的個數越多，它們這樣的兩兩相乘後的和為零的可能性就越高。沒想出來為啥有這結論。

再想一想，還真有可能。咋說？因為任何一對數都是隨機產生的，大小、正負都隨機，它們乘積的大小、正負也隨機了。

這樣，以項數為x，以該項乘積的值為y，這些y值就在x軸(y=0)上下隨機分布的，這與扔硬幣看哪面朝上近似。y的值在x很大時應該是均勻地分布在x軸兩側的，x越大(題中的n越大)，分布的均勻性越好，這樣，y(乘積)值的和為零(正負相抵)的機會就越大。是這個意思吧？

再再想，似乎又不太對。你看啊，兩個數各為正或負的概率是一樣的，一半對一半，但它們乘積為正或負的概率就不同了。正負得負，負負得正，正正還得正，這樣，乘積為正的機會是不是多一些？

y的分布是在零上還是在零下，發生的機會就不均勻了，它們的和為零的機會也就不能說雖x的增加而增加了吧？

3樓：

我認為不是。不管n是多少，可能性都一樣。不過嚴格的理論估計得扔給測度論去解釋了。

為什麼說可能性都一樣呢？因為在給定乙個向量和另一向量的n-1個分量，只剩下最後乙個分量的時候：

要麼，不管這個分量取幾，它們都垂直。

要麼，只有乙個取值能讓它們垂直。

至於這兩種情況到底可能性分別是多少，我目測也和n無關吧，這個似乎不太好想，我不敢亂說。我只能估計是和n無關吧。

所以，某種意義上，跟維數無關，而是跟每個分量有多少種取值有關。

4樓：和與忍

不是。這個可以用簡單的線性代數知識來說明：設a, b是兩個n維向量，分量分別為x1、x2、……xn，y1、y2、……、yn. a、b垂直的充要條件是x1y1+x2y2+……xnyn＝0.

將左邊的式子令n趨於無窮取極限，顯然極限值一般不是零。這就表明原問題的答案是否定的。

5樓：tetradecane

n維空間中任取兩個向量，它們互相嚴格垂直的概率永遠是0，但是n越大，則它們幾乎互相垂直的概率越來越大，或者說它們的夾角在π/2附近的概率越來越大。

證明可以使用乙個n維單位球，在上面任取乙個向量終點，然後用積分算一下它和某個固定向量的夾角的概率分布。

這個結論是高維資料科學的乙個基礎共識結論。

6樓：傻子.傻問題殺手

任取兩個向量，在n維空間裡的垂直的概率都是0。0和0 很難說哪個可能性更大，而且越高維度，「恰巧」垂直的可能性越小。

不過換一種說法，任取兩個向量，他們的夾角為0的概率，在1維的時候為100%，到了2維就變成0了。