1樓：乄是宇哥呀
理解方式是你要知道行列式那些性質幾何意義是啥
以下就通俗的講一下
你要要是腦子好就腦補下這些行列式構成的n維幾何體都是對應向量兩兩平行，因此n-1維的某個「面」和其對應「面」總是平行，求超體積無非就是「V」＝h*「s」,值得去注意的是，h絕對是線段，因此接下來的操作也體現了為何要化對角線，任何行列式都可以化成對角線（這你從代數去證明即可），這樣化出來，就是乙個超正幾何體，所有向量都是在每個n維數軸上並且兩兩垂直，這個變換其實就是和h垂直的兩個n-1維的「面」在這兩個平行的n-1維空間裡平移，然後再在n-1維裡面的任意n-2維空間裡根據上者操作，把對應的n-2維的「面」平移，以此類推，將所有這些變成正幾何體，推到最終該幾何體裡面3維空間的二維平行四邊形也變成同高和原底同直線的長方形，不難發現這兩個幾何體絕對等「體積」（內部最小二維圖形變化都是等高變化，任意維度也都是等高變化，基本上就是這樣的乙個操作）
2樓：
行列式具有以下性質：
單位矩陣的行列式值為1。
行列式的某行乘以乙個倍數，結果乘以相同倍數。
行列式的某行加上另一行的若干倍，值不變。
3樓：dhchen
對於不等於0的情況。
一種流氓的做法是是這樣的，設 是向量 張成的幾何體，也就是
.也就是 可以看成是 作用到 n維的單位正方體 上，也就是 。
於是利用多元的積分變換公式還有重積分，我們發現其超體積為
好了，我承認這種做法很流氓，等於什麼都沒講。
下面給乙個正常的思路：
這個思路基於高斯消去法，首先我們注意到 可以分解成（兩種）初等矩陣列 和乙個下三角矩陣的乘積，也就是 是乙個下三角矩陣，這裡兩種初等矩陣分別是
(交換列向量)
(在某個列向量上加上另乙個列向量的k倍)
不管哪種都會滿足 。所以，我們發現
,也就是他們保持行列式不變
另一方面上面連個操作都不會改變體積。首先交換向量是顯然的。對於另一種情況，你的這樣理解： 的體積等於 到平面 的距離 乘上 所張成的n-1維平行四邊形 的超體積,也就是
.而 顯然不會因為 就有所改變，於是體積還是不變的。如果我們設 是下三角的列向量圍成的平行四邊形,所以我們知道 , 所以我們只需要證明
.三角矩陣的中列向量張開的體積顯然和它的行列式相等。
第三個：還有一種施密特正交化的方法: 也就是設
,然後 相互正交。並且 就是 張成的k維的超體積。
因為 就是 到平面 的高度。觀察到這點，然後利用歸納法就能得知。
反過來，我們發現存在常數 使得
能和任意 這k-1個向量張成的空間垂直, 這個空間有等於 。
然後我們發現
我們把任意的列向量乘以乙個數加到另乙個列上面不會改變行列式的值，於是我們發現 然後我們在用第乙個列向量和第二個列向量的乙個線性組合去化掉第三個向量中的 ，得到
, 以此類推，我們得到了
.為什麼呢？設 ,因為 而後者剛好是乙個對角矩陣，並且對角線上的元素剛好是 .
我們其實還能引入外積 這個概念, 然後你會發現 和體積是息息相關的。這個留給其他人寫吧。
總之思路非常多。。。。
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