1樓：張景斌
向量組的維數即極大線性無關組的個數，假如該向量是列向量，即列向量組的秩，即對應矩陣的秩。（事實上也是行秩）
向量組成的線性空間的一組基即一組極大線性無關組。
2樓：歸無先生
如果向量空間的基=向量組的最大線性無關組，則維度=秩。
例如：如果是四維空間，應該有四個無關的向量組成乙個基。但如果從中取四個向量組成乙個向量組，未必就剛好取到四個基。
如果取到的四個向量有乙個可以用另外乙個表示，則該向量組的秩就是三。
基可以有無數個，但每個基所含的向量個數一定等於維數。
秩可以理解為秩序。所謂秩序可以理解為準則。乙個向量組裡不能被分解的向量就是這個向量組的準則。能被分解的是解向量。所以秩=n-解向量個數。
有乙個判斷線性空間維度最快速的方法，就是看方程組的未知數。有幾個未知數維度就是幾。方程組的秩就通過矩陣來計算就行。
3樓：
向量空間的維數定義是線性無關的列向量個數。若干向量生成的向量空間的維數，和向量組的秩相等，這點我記得在2023年的數一填空題考過。
乙個容易混淆的概念叫做解空間的維數：比如齊次方程組AX=0的基礎解系個數我們知道是S=n-r(A)，基礎解系都是線性無關的列相量，所以解空間的維數就是基礎解系的個數，就是S。
另外還有乙個概念叫向量的維數，指的是行數，要和向量空間的維數區別開。
不知道這樣理解清晰嗎。
4樓：
提問者問的有問題，向量空間是乙個向量集合，維數針對的也是空間，空間才有維數，矩陣才有秩，但是乙個空間怎麼對應乙個矩陣？
矩陣是多個向量在該空間的基對應的座標下所組成的乙個表，比如含有 個基的向量空間 ，若其中的乙個矩陣 為 的，而 ，那麼很明顯向量空間的維數 ，但是上面的矩陣的秩卻可能是 ，整體來說 上的矩陣的秩小於等於 。
5樓：天下無難課
問題很老了，但會世世代代問下去。
空間的維數當然不是秩啦。要在矩陣裡找乙個與維數對應的稱呼，那應該是矩陣的階。秀一下英文，空間的維數是Dimension，用來描述在這個Dimension的空間做線性變換的矩陣的階就是order了，只要你扯的是n維空間裡的變換，那就用n階的矩陣。
Dimension與Order哥倆好，一般大。
秩就複雜多變一點了，再秀一記英文，那叫rank。對，線性無關極大組的成員數量就是它們所在的向量組的秩r。你要把整個n維空間都張成(搭建)出來，你就得有n個n維向量為基礎，把這寫成矩陣形式，這就必須是乙個n個n維的列向量組成的矩陣。
可是啊，你划拉來的這n個n維向量不一定都是線性無關的。如果都無關，那麼這個列向量組的線性無關極大組就是它本身啊，那就是r=n，這個矩陣就是妥妥的滿秩的。在滿秩的情況下，以這n個列向量為基，整個n維空間都可以被線性組合(張成)出來。
要是這矩陣裡的列向量中間有乙個，或一些可以被其餘的夥計們組合出來呢？這時，構成這個矩陣的向量組就是線性相關的了，極大組的個頭r就一定比矩陣的個頭(階數)低了，r＜n，矩陣就不是滿秩的了。如果秩不滿，這個矩陣裡的列向量就組合(張成)不出整個空間，就只能整出乙個子空間。
所以，一組完整的n維向量空間的基的數量一定是n，對應到矩陣上就是乙個滿秩的矩陣，對應到向量組上，就是向量組的個頭不能超過、而是等於它的線性無關極大組的個頭。
你在n維空間裡可以選任何大於n的數量的向量來組成乙個向量組，隨你。但在編造矩陣時，我們通常最多抓來n個n維向量。因為你組向量組時誰也不知你要幹啥，你開心就好，向量的數量沒限制。
但在搭矩陣時，通常這表示你有意用這組向量為基礎來線性組合出其它向量。而對乙個n維空間，最多用到n個線性無關的n維向量做基就能全組合了，多了沒用，所以這個矩陣裡的向量組最多就n個成員了，而它的秩要麼等於n，要麼小於n，沒別的可能性。
向量組，矩陣和空間，維數，階數和秩數，各有所指，不會混淆，可又相互關聯。
6樓：Ho Kwan
線代課本裡對秩的定義有兩個：
1.對矩陣的秩的定義是通過「最高端非零子式」；
2.對向量組的秩的定義是通過「最大線性無關向量的個數」；
定理：這兩種定義下的秩的大小是一樣的；
證明過程個人感覺很重要這裡就不說了，課本有。
之所以搞出來這兩個定義，個人感覺是為了解決「矩陣好算，但不直觀；向量直觀，但不好算」這一問題。
通過矩陣運算，我們能方便的算出矩陣的秩，算出矩陣方程的解；
有了上面定理的加持，我們可以將矩陣運算的結果轉化，得到矩陣對應的向量組的最大線性無關組，向量組之間線性表示的係數；
這樣就既好算又直觀了，問題解決。
課本上把這種利用矩陣工具解決問題的方法叫做矩陣方法，這也是線代的基本方法。
此時再看矩陣的秩和向量組的秩，是不是就舒服點了？
7樓：道華
的確是一樣的。
向量空間的維數就是對應矩陣的秩。
（從計算的角度來理解是這樣的，但是從概念來講，是不一樣的。向量空間的維數就像是空間的維數，例如立體空間的三維。而矩陣的秩表示的其他的概念）
向量空間的基就是對應列向量組的最大線性無關向量組.
(向量空間的基是向量空間維度的表示，三維就有三個基本量。而最大線性無關組是向量組的簡化。理解好矩陣和向量組的關係很重要。
矩陣的意義就在於將空間問題，多維問題轉化為方程組，利用已知的方程組的性質，來求解矩陣問題，進而解決空間問題)
這也正是數學的意思所在。
向量空間的維數等於對應矩陣的秩，那麼為什麼 矩陣的秩 解空間維數 方程組未知數的個數？
Jeremy lin 之前，我也有和你一樣的疑惑。關鍵，是要區分 向量空間的維數 和 解空間維數 這兩個概念。1.向量空間的維數 對應矩陣的秩 完全正確 2.而對於 解空間 這個概念，是指由自由未知量組成的空間。可以說，1中指的是整個向量空間，2中指的是部分向量空間。所以，理解的落腳點是 向量空間 ...
n維向量空間V中向量的維數是否為n維？
塵月 從這個角度考慮向量的維數是沒有意義的，向量空間的維數對於其向量而言，是外部的性質 因為向量空間有子空間，也可以嵌入更高維的空間，理論上來說這個向量可以出現在任意正整數維數的向量空間裡。 王贇 Maigo 在沒有語境的情況下說 n 維向量空間 一般就會理解成 R n，此時裡面的向量就是 n 維的...
三維空間是不是四維空間的黑洞？
反過來說差不多能接受。即 四維對三維來說是黑洞。例如 你用沒有面積的線，再怎麼堆積也堆積不出乙個平面來，因為線是一維的，面是二維的。二維的面對一維的線來說如同黑洞一樣，怎麼也填不滿。同理，二維的面因為沒有厚度，所以無法堆積成三維 這裡說的是堆積，而不是圍成 所以很可能 當然也只是腦洞 在我們三維世界...