1樓：Jeremy lin
之前，我也有和你一樣的疑惑。
關鍵，是要區分「向量空間的維數」和「解空間維數」這兩個概念。
1.向量空間的維數=對應矩陣的秩（完全正確）2.而對於「解空間」這個概念，是指由自由未知量組成的空間。
可以說，1中指的是整個向量空間，2中指的是部分向量空間。
所以，理解的落腳點是「向量空間」與「解空間」！！！
2樓：蕭何夜下追
前面的大佬們對這個問題的解釋已經很詳細了，我就從直觀上從行列式的角度來解釋一下，對於 的行列式，要從行向量與列向量的角度來解釋這個問題，從列向量來看，我們往往都將列向量的向量空間看作是行列式的向量空間，需要注意的是，列向量空間的秩，也就是行列式的秩，也是行向量空間的秩，再從行向量的角度來看，行向量的維度代表的是未知數的維度，行向量的未知數的個數是 ，那麼解向量的維度就是 ，行列式的秩的解，假設秩為 ，那麼這 個解是確定的，也就是固定的，那麼解空間的維度就從 維降到了 維度，
為什麼秩為 解空間就會有 維度被確定呢？參考高斯消元，
為什麼 維被確定， 維度就會降到 維度呢？參考三維空間的列向量，有一維度確定，那麼這個向量的向量空間就是乙個平面。
3樓：
形如的一組線性方程稱為 元齊次線性方程組。其中，矩陣稱為上述齊次線性方程組的係數矩陣，簡單記作我們知道齊次線性方程組的所有解的集合構成乙個線性空間，稱為該齊次線性方程組的解空間。
那麼為什麼解空間的維數是 ？
下面我們記 ，為敘述簡單起見，不妨設 的前 列線性無關，則存在 階可逆矩陣 ，使得
由於 是可逆的，方程組與方程組有相同的解。因此，只須解方程 即可。而此時，這個方程組可以寫成：
令向量 依次取 個線性無關的向量：
則相應得到方程組 （即方程組 ）的個線性無關的解：
設 為方程組的任意乙個解：
，則 這樣我們就證明了 是解空間的一組基，因此解空間的維數是
4樓：Hu組織
單純從解方程的定義和歷來來看一下：
當把方程組寫成矩陣形式，方程等號左邊的兩個矩陣（姑且乙個叫係數矩陣A，乙個叫未知數矩陣X）：
有且一定滿足矩陣乘法規則，即：係數矩陣的列數=未知數矩陣的行數。
而未知數矩陣就是把n個未知數寫作乙個單列、n行的矩陣，因此，未知數的個數=未知數矩陣的行數=係數矩陣的列數。
方程解的過程就是對A消元的過程，消元成階梯型後，解空間的維數=矩陣A中自由元的個數（列數）A的秩=矩陣A中主元的個數（列數）
主元列數+自由元列數 = 就是A的所有列，=未知數矩陣的行數=未知數的個數以上。
5樓：Ploar
線性代數的問題， 都可以在 introduction to linear algebra, Gilbert Strang. 中找到答案。
W 是 R^n 的乙個subpace, 也稱作 A 的nullspace, 記做 Null(A）
通過對行做線性組合，矩陣A 的行可以形成乙個R^n 的subpace ,記做 row(A).
對於每個在Row(A) 的向量 a_i, a_i x =0 （x in Null(A)). 所以 Null(A) 和row(A) 是正交空間。所以dim(Null(A)) + dim(row(A)) = n.
如果 dim(row(A)) = r, 那麼 dim (Null(A)), 就一定是 n-r。
如果有表述不妥的，可以再交流。
6樓：
未知量個數是n，可以這樣想，如果A是零矩陣，AX=0方程的解空間的維度就是n。即每個元素取一次1其餘的都取0；秩每增加1，（增加了乙個「有用的方程」，這個方程一定能寫成乙個未知數被其他未知數表示的形式，相當於這個未知數被剩下的未知數唯一確定）即相當於增加了乙個n個未知數的乙個限制條件，使解空間維度會降低1。
總結一下，就是方程組的未知數個數就是未加限制的解空間的大小，矩陣的秩（也就是r個有用的方程）就是給這些未知數增加相互限制的關係，每次限制使空間減去乙個維度。
秩和解空間維度和方程組未知數個數其實就是名字形式不一樣而已呀。
7樓：狄大銀
瀉藥。m是行數，
n是列數，也就是所有未知數的數目
r是秩，也就是經過'Guass elimination'之後得到的pivot （好像叫領頭元什麼的）的個數，相應的也就是dependent 變數（可以用其他變數表示）的個數
其他變數，也就是不在pivot位置的變數，稱為自由變數，這些變數的個數就是 null space（題中w空間）的緯度。
這個是基本關係，表達出來就是rank-nullity theorem.
具體證明課本應該有吧。
對於原題: r是pivot個數，最大列無關組個數
n是總列數，相應的nullspace 維數等於自由變數個數也就是n-r
8樓：十里春風
(矩陣的秩+解空間的維數=方程組未知數的個數 ) 單純這個關係可以從矩陣方程組本身和向量空間這兩個角度來考慮。
如果你考慮從矩陣和方程組本身來解釋這個關係式的話，思路應該是這樣的。解(齊次)線性方程組最常用的是消元法，抽象到矩陣裡頭是初等行變換。當然必要時你可以交換下兩列，這只是為了形式上方便而已。
從而通過初等行變換你可以把乙個矩陣換成首一的階梯型。從而矩陣的秩就容易看了，假設為r。那麼全為0的行數為n-r。
所以自由變數的個數也就這n-r，它們控制了整個解空間，一旦它們取定，乙個解就確定了，所以可以知道這個解空間維數就是n-r。從而上面的關係式就很明顯得證了。
如果考慮從向量空間的角度的理解它的話，應該首先知道線性變換與矩陣的關係。取定乙個向量空間和一組基後，線性變換和矩陣就有一一對應的關係。同時有這樣的事實：
對於乙個變換，有像和核的概念。它們是兩個空間，像是向量空間經由該變換對映後的空間，核是該變換下0向量的原像構成的空間。他們的維數之和為向量空間的維數。
所以向量空間的基在矩陣A作用後得到像空間的一組生成元。從而像空間的維數就是矩陣A的維數。向量x經矩陣A作用後為零向量，所以所有x組成的集合即為核空間。
顯然有AX=0，所以解空間的維數即為核空間的維數。由於有之前的事實，所以對於矩陣A，有A的秩加上解空間的維數等於矩陣A的行數。(這裡A為方陣，事實上對於m*n矩陣也是一樣的，補上幾行或幾列零就可以了)
向量空間的維數是不是就是對應矩陣的秩？向量空間的基是不是就是對應列向量組的最大線性無關向量組？
張景斌 向量組的維數即極大線性無關組的個數，假如該向量是列向量，即列向量組的秩，即對應矩陣的秩。事實上也是行秩 向量組成的線性空間的一組基即一組極大線性無關組。 歸無先生 如果向量空間的基 向量組的最大線性無關組，則維度 秩。例如 如果是四維空間，應該有四個無關的向量組成乙個基。但如果從中取四個向量...
三階矩陣矩陣的秩等於2一定有特徵值等於0嗎？
半個馮博士 必須的。特徵分解中 矩陣 是可逆的，因此 的秩與 相同 那麼只要 不滿秩，就不滿秩 加之 是對角矩陣，因此不滿秩時必有對角元素為零，即 有零特徵值。 天下無難課 楊生 從行列式的值這個角度講的很清楚了。本答再從向量的分布上來扯一下。對於三階矩陣秩2的矩陣，這個矩陣能展開，或表達的空間就是...
如何通俗理解矩陣的秩？
風卷雲開 維 矩陣視作向量組時，這個向量組最少需要的維度數就是這個矩陣的秩。維度的數量小於基底時，表現該空間內向量有無窮多寫法。只有維度和基底數相同，乙個向量才能被唯一確定幾個基底對應的引數。舉個例子，把 1，1 也作為平面直角座標系的乙個基底記在第三位上，你標記任意乙個向量均不能唯一確定三個基底上...