1樓：四維超球體
讓我一次解決k個問題
假設當自然數 n 不是k次方數時，n 的k次方根為有理數，設所以 ,因為 ，所以 ,所以 ，又因為 ，所以 ，所以 ，所以自然數 n 是k次方數，矛盾
所以 當k是奇數時， ,而
所以 所以
當k是偶數時， ,所以
所以 因為 ,
所以 所以
2樓：蘇打
兩種比較基礎的思路...
一、
反證。對n∈N，n不為立方數，假設n^(1/3)為有理數設為p/q，其中p,q∈N，(p,q)=1，
則n=p/q∈N，從而q|p，
又(p,q)=1，故q=1，
則n=p為立方數，矛盾~
二、
我們先證明乙個引理：首一整係數多項式的有理根必為整數。記整係數多項式f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2...
+x^n，其中a_1,a_2,...,a_(n-1)∈Z，
若f(x)=0在Q內有解，設為p/q，其中p,q∈N,(p,q)=1，
代入多項式化簡可得：
a_0*q^n+a_1*p*q^(n-1)+...+p^n=0兩側同時模q得到：
1≡0(mod q)
從而q=1，也即f(x)若有有理數解，必為整數解。
回到原題，我們令f(x)=x-n，
則方程x-n=0的有理數解必為整數解，
即若n^(1/3)為有理數，則必為整數，與n不為立方數矛盾~其實兩種做法本質是一樣的...
3樓：Tautochrone
其實就是高斯引理：整係數首一多項式在 上既約當且僅當它在 上既約.
如果 不是立方數，則不存在 使得 ，也就是多項式 既約，則由高斯引理 既約，也就是 ，這就證完啦
所以核心問題是如何證明高斯引理，有其他答主已經說得很清楚了~
4樓：
首先，我們看乙個最簡單的無理數的證明。
命題1是無理數。
證明：反證法。
假設不是無理數，即是有理數。
根據有理數的定義，
其中m,n互素，即 的要求是自然的，因為分子分母約掉公共的因子後就互素了。
將上述等式兩邊平方，得到 .
由於2是素數，得到m是2的倍數，即我們可假設 .
將它代入原先等式，又得到 即 .
同樣的道理，得到n也是2的倍數。
由於m,n都是2的倍數，因此其公因子至少有2，這與 矛盾。QED.
其實，常見的證明乙個實數是無理數的方法主要就是兩個：
一是類似上述 這種代數數的無理性的證明過程的代數或者數論式方法；
二是類似π和e這種超越數的無理性的證明過程的分析式方法，
詳見我的專欄文章：
溫欣提市：無理數π與e和你的糾結系列2|如何證明 e 是無理數？
能表示成整係數多項式方程的根的實數被稱為代數數。
不是代數數的實數被稱為超越數。命題2若正整數n不是立方數，則是無理數。
由於也是代數數，因此我們有理由相信，其證明方法跟是相似的。
證明：反證法。
令正整數n的素數乘積展示式如下:
n不是立方數的意思就是，上式中的指數 存在乙個不是3的倍數。
不妨假設不是3的倍.
step1 將問題歸結為指數的情況
由於指數 不是3的倍數，不妨令
則 引理1：非0有理數x和無理數y的乘積xy必為無理數。
這個引理是很簡單的。因為有理數的加減乘除是封閉的。
若xy是有理數，則 是兩個有理數的乘積必為有理數，矛盾。
回到正題，因此我們只需要證明 是無理數即可。
step2 反證法的主體部分
假設不是無理數，即是有理數。
根據有理數的定義，
其中u,v互素，即 的要求是自然的，因為分子分母約掉公共的因子後就互素了。
將上述等式三次方，得到 , 即
由於 是素數，得到u是 的倍數，即我們可假設 .
將它代入原先等式，又得到
由於 我們有
由於 是不同的素數，因此得到v也是 的倍數。
由於u,v都是 的倍數，因此其公因子至少有 ，這與 矛盾。QED.
那些年被數學虐的我們
5樓：偉大的車爾尼
反證法。只考慮 是正整數的情況，若 是負整數，只要乘以 即可。
假設正整數 不是立方數時 的立方根是有理數，則可以寫成 ，其中 和 都是正整數，故有 。
對 、、分別用分解質因數表示如下，因為等號兩邊相等，因此分解質因數的結果是一定都能表示成 個不同質因數的若干次方的乘積。
根據 可知，對任意 ，有 ，因此對任意 ， 是 的倍數，可得到 是立方數，與假設 不是立方數矛盾。
因此，如果整數 的立方根是有理數時， 是立方數。該命題是真命題，與其逆否命題等價。
其逆否命題是：當整數 不是立方數時， 的立方根不是有理數，即 的立方根是無理數。
6樓：C.Jie
我想下面這個例子應該差不多了
考慮首一多項式方程，有理數解有r/s的形式，而首項係數為1，所以有理數解必然是整數形式
實際上代數整數的解要麼是整數，要麼是無理數考慮一下這個多項式環Q[x],實際上它不是代數閉的，你可以從域擴張角度，往Q裡加入新的元素得到新的域
7樓：靈劍
代數整數要麼是整數，要麼是無理數，不可能是分數，更不要說正好是立方了，一想就知道，有理數分子分母互質，三次方之後還是互質的，顯然不能約成整數。換成首一整係數多項式也是一樣的原理。
8樓：
n的立方的立方根並不是無理數。。
別的n如果是正整數的話就可以for the sake of contradiction 說立方根號n是個有理數有理數可以被寫成a/b這樣的形式然後兩邊立方再推乙個矛盾就說根號n不能被寫成分數形式所以他就是乙個有理數
9樓：幻想鄉
若n≠a^m (m≥1，且a，n，m都代表整數）則n的m次方根是無理數。
用反證法，如果它是乙個真分數x/y的根，因為x，y互質，則x^m和y^m也互質。這和n為整數矛盾。
10樓：海楓
正確的命題應該類似這樣：
如果n不是立方數，那麼 是無理數證明過程很簡單，直接利用算術基本定理即可，並且本方法適用於證明所有k次方根（k為正整數），證明過程如下（反證法）：
假設 是有理數，那麼一定存在兩個整數p和q滿足： ，即：
由算術基本定理，上述中的n,p和q都有唯一的質數分解式，假設n, p和q所含質因數的並集為： ，那麼n，p和q的質數分解式可以寫成下面這樣：
由n不是立方數，可知 ,,..., 不全是3的倍數，顯然存在乙個 不是3的倍數。
然後將n，p和q的質數分析式代入到 ，則有：
即：由於 均是質數，所以對應的指數必須相等，才能滿足上述等，於是有：
於是可以得出： 均為3的倍數，與存在 不是3的倍數相矛盾。
所以：是無理數
11樓：Dylaaan
求證： 是無理數
下面給乙個很酷的證明（其實就是 @tetradecane 回答裡面的證明）：
證明用反證法，假設 ，其中 ， 為整數，且則 ，由費馬大定理知：該式無整數解，矛盾！
事實上， 是無理數，用反證法證明如下：
證明當 ，假設 ，其中 ， 為整數，且則 ，記 ，則
因此 ，此與 矛盾！
當 時，假設 ，其中 ， 為整數，且
則 ，由費馬大定理知：該式無整數解，矛盾！
補充一下費馬大定理的內容：
對正整數 ，方程組 無整數解
而當 時，滿足 的正整數組即為勾股陣列，例如 ，因此在上面的證明過程中，需要對 的情況單獨考慮。
12樓：tetradecane
首先題設錯誤，n=8的立方根不是無理數.
可以證明2的立方根是無理數，證明請參照√2是無理數的證明（網上可查）.
最近看到個有趣的證明：假設2的立方根是有理數，設其等於p/q，其中p與q為互素的正整數，則(p/q)^3=2，有p^3=q^3+q^3. 由費馬大定理知p與q無解. 可謂大炮打蚊子
如何證明對正整數n，cos 2 n 為有理數當且僅當n為1,2,3,4,6？
給個初等證明。首先給出引理 引理 如果多項式 有有理根 其中 互素，那麼 我們要用到關係式 這個關係式使用和差化積即可證明。我們要證明的命題是 設 那麼存在乙個 次首一多項式 使得 再結合引理，推出 是整數，於是只能取值 因此可以直接驗證 的值。首先，如果 滿足命題，那麼 也滿足，這是由 其次，由關...
在 n 個整數裡，找出2個數相加等於 sum 的所有整數？
1，先排序 O n lg n 2，然後二分查詢 sum 2 的位置 ix O lg n 3，遍歷 ix 之前 或之後 的每乙個數 x 在二分查詢 sum x 存在即 print O n lg n int limit 0 for int i 0 i n i vector answer limit,0 ...
對大整數N開平方，求其整數部分，有什麼好的演算法嗎？
陳炳好 高讚答案確實不錯，但我說的這個演算法呢？可手算，免判斷 if 無需高精度 b b a b 2 你沒看錯，就這一句。算一次精度提高約0.3位，迴圈運算即可。a是被開方數，b是結果。算第一次前設定b ab的精度要多少，那麼運算的精度也就只要多少。如果b的精度只需要整數，那麼本演算法也只需要取整數...