1樓：
給個初等證明。
首先給出引理：
引理：如果多項式 有有理根 ，其中 互素，那麼 。
我們要用到關係式 ，這個關係式使用和差化積即可證明。
我們要證明的命題是：設 ,那麼存在乙個 次首一多項式 使得 ，再結合引理，推出 是整數，於是只能取值 ，因此可以直接驗證 的值。
首先，如果 滿足命題，那麼 也滿足，這是由 。其次，由關係式可知，如果 都滿足命題，那麼 也滿足。
我們對 的 使用歸納法。設當 時命題成立，那麼可知對於 到 的偶數都成立。因此，由關係式可知，對於奇數也成立。於是對於一切整數都證明了命題。
2樓：
考慮n次單位根ξ_n=cos(2π/n)+i*sin(2π/n)。
如果cos(2π/n)是有理數，那麼sin(2π/n)最多在有理數的二次擴域裡，於是ξ_n在Q上的極小多項式的次數φ(n)≤2。由簡單的計算知道這樣的n只有1,2,3,4,6時滿足。再把這幾個情況算一遍就知道它們對應的cos(2π/n)確實都是有理數。
如何證明對於任意大於 1 的正整數 n， 1 2 3 n 均為無理數？
渴飲匈奴血 我來給乙個代數的證法。話說去年三月北大數院博士生入學考試的抽象代數就考了一道類似的題，以下是我當時在考場上想出來的證法。首先，歸納可證 設p 1,p k是兩兩不同的素數，則域F Q sqrt,sqrt 在域Q上的擴張維數是2 k，並且 B 構成F的一組基。對任意n 1，取p 1,p k為...
如何證明正整數到正整數的所有函式構成的集合與正整數到雙元素集0，1的所有函式構成的集合基數相同
hhh 兩者雙射。首先正整數到0，1的函式可以轉換成0到1之間的二進位制小數的集合，如果正整數N的對應的函式值是0，那麼小數點後面第N位是0，如果正整數N對應的函式值是1，那麼這一位上的數是1。比如x 1，y 0，x 2，y 1，x 3，y 0，x 4，y 1 對應二進位制小數為0.0101 很顯然...
如何證明存在 1000 個連續的正整數中恰好有五個素數？
靈劍 記f n 為 n,n 1000 中素數的個數，則f n 1 和f n 的差的絕對值至多為1 只相差n和n 1000 類似於連續函式的介值定理，可以證明對於任意f a 張景斌 離散介值原理即可秒殺，五年級難度奧數。1 1000不止5個素數，而1001 2一直到往後1000個數都不是素數。1為首，...