1樓：Alex Julius
R的加法非平凡子群不是迴圈群則其在R上稠密。
簡證：設非平凡子群為A。若0不是A的聚點且A有異於0的聚點，則由A可取柯西點列知其矛盾，因此A有最小元，用其表示可知A為迴圈群，反之0是A的聚點，由此可取極限為0的柯西點列，通過群加法使其稠密於R中任意開區間。
2樓：執悲今厄
設兩個數n+mπ，p+qπ；
如果我們能證明對於任意正數ε，有p+qπ-(n+nπ)＜ε，那麼就能證明稠密性。
即：需證總有0＜a+bπ＜ε，其中a、b∈Z。
令a＝-【bπ】，則原式為0＜bπ-【bπ】＜ε。
顯然，此式成立。
故原命題成立，證畢。
3樓：ese
那個2看著不舒服，先改成n+mpie吧，其實換成任意乙個無理數都可以。
為簡便首先任意給定乙個正實數p與乙個正數ε，將p進行十進位小數展開，假設取其小數部分前n位時，誤差小於ε。考慮序列kpie，k=1，2，…，由抽屜原理可知必定存在k1，k2∈N使得它們乘pie後前n位的小數部分數完全相同，不妨設k1大於k2。做差t=k1pie-k2pie，設其整數部分為s，則由pie的無理性知u=t-s不為0，且u小於ε。
所以存在乙個正整數a使得p-ε≤au≤p+ε，而au=a（k1-k2）pie-as，即得所求。
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