1樓：forever
我說乙個比較直觀的想法吧。正有理數可以寫成m／n的形式，而m和n都是屬於自然數集合的。我們可以構造乙個無窮多個的集合的並，即有m=1,而n取遍所有自然數，m=2時........
，為了與自然數建立等勢。我們也需要把自然數分割成無窮多個集合的並，我們想到素數是無窮多個的，那麼我們可以把每乙個素數pn及n.pn(n取遍所有自然數)與有理數m不同取值的每乙個情形建立對應關係。
其中的想法就是，首先把正有理數劃分成類，我們發現每一類都是無窮多個，其中類的數目也是無窮多個。這暗示我們對於自然數集合也需要相應的劃分，我們想到以素數劃分自然數集合，每乙個素數的倍數也是無窮多個。
簡單版的示例是整數集合與自然數集合建立等勢關係，可以把整數劃分為正整數與非正整數。那麼自然數劃分為奇數與偶數。
2樓：
前面有人說了數分書上的有理數是可數集的證明，前幾天看到了一種新的列舉方法，Calkin-Wilf列舉感興趣可以維基百科一下
3樓：一名陶肥
具體地去構造這樣的乙個顯示的一一對映是很困難的，在證明有理數集與正整數集的等勢性時，主要是在證明有理數集是至多可數的這樣的事實。
在證明有理數集至多可數時，我們可以首先構造乙個(m,n)的有序數對，其中m、n均大於等於0，並且n小於m。那麼我們構造這樣乙個對映(m,n)->(m+1)m/2+n.可以證明這樣的對映是從正整數集到(m,n)上的乙個一一對映（證明是單射、滿射）。
那麼這樣的數對是至多可數的。這個的直觀理解其實就是上面匿名答者所提到的將乙個大矩陣斜著寫，從而得到了這個矩陣的乙個座標到自然數的乙個一一對映。
有了這樣的事實後，那麼去除掉n小於m的限制後，這樣構成的有序數對仍然是至多可數的（去掉限制後集合大小變成了原來的二倍）。那麼加入負值後，這樣的有序數對仍然是至多可數的。顯然任何乙個有理數都可以寫成m/n的形式，那麼(m,n)這樣的有序數對就構成了乙個從(m,n)到Q的乙個滿射。
所以有理數集是至多可數的。
有理數集和整數集的元素個數相同，那小數去哪了
的確可以構造 的乙個雙射 然後我們以後所有用到的有理數 全部用整數 表示。但你不嫌麻煩麼？不用現在的有理數表達會讓很多式子變的特別奇怪 達達 題主已經是高中生了，在此預設高中生都學了必修一裡面的集合，有了集合的基本概念，理解起這個問題就比較容易了。在考慮這個問題之前，我們先明確一下，什麼叫做兩種數一...
如何證明對正整數n，cos 2 n 為有理數當且僅當n為1,2,3,4,6？
給個初等證明。首先給出引理 引理 如果多項式 有有理根 其中 互素，那麼 我們要用到關係式 這個關係式使用和差化積即可證明。我們要證明的命題是 設 那麼存在乙個 次首一多項式 使得 再結合引理，推出 是整數，於是只能取值 因此可以直接驗證 的值。首先，如果 滿足命題，那麼 也滿足，這是由 其次，由關...
為什麼無窮個有理數的和不一定是有理數？
jijidawang 顯然，對於只有一項的序列 顯然 即 假設長度為 的序列 成立，則對於在 中新增數 得到 顯然 由皮亞諾歸納公理可知，對於任意 的有理數序列 滿足 Q.E.D.手動滑稽 注意到 所以上述命題不能用於無窮級數。構造 則 反例.構造 則 反例2.本來 的定義就帶個極限，所以對於任意實...