1樓：Taiat
其他答主都舉了反例，我就不舉反例了.
能問出這個問題，說明題主還沒太學明白什麼是閉區間套，也沒太明白實數幾大定理互推是怎麼回事.
閉區間套，數列收斂這些東西都是實數完備性的表現，只是對完備性的解釋方向不相同.
換句話來說，正是因為有理數不滿足完備性，不滿足區間套定理，所以我們才要引入實數.
2樓：靈劍
你這也太好舉反例了吧，a0=1，b0=2，b_n = (a_(n-1) + b_(n-1))/2，a_n = 4/(a_(n-1) + b_(n-1))，區間套吧，都是有理數吧，套住了誰？
3樓：Zoe
閉區間套定理是不對的，上面的答主已經舉了例子。
如果換成有理數集上的緊集套，那麼就是對的。因為我們首先有R上的緊集的交非空，之後給乙個有理集上的緊集套，它們的極限一定屬於第乙個緊集的極限點集，從而是有理數，在有理數集內部。
4樓：予一人
不成立。
從本質上說，區間套定理之所以成立，是因為實數集具有「連續性」（或說「完備性」）。事實上，我們正是把實數集能使得區間套定理於其上成立的這種性質，稱為實數的「連續性」，而有理數集並不具備這樣的性質。
請嘗試考察這樣乙個反例：
，其中很容易驗證，這 構成了乙個端點是有理數的區間套，因為 單調遞增趨於 單調遞減趨於 但它們在有理數集內套不出唯一的公共點，因為 是無理數。
5樓：magnus
不是數學系的，讀物理的，隨便說說
印象中，康托爾是用閉區間套定義無理數的。
具體的證明不會
但是，閉區間套和有限覆蓋，極限點引理和完備性公理和阿基公尺德原理是等價的
所以答案是不成立
6樓：哈哈哈
不成立對R上的閉區間套，如果存在間隔任意小的區間，那存在唯一數屬於每個區間；如果這個數剛好是無理數，那挖掉這些區間的無理數後，這些有理數集就套不住任何有理數了。
具體地，比如說：
7樓：「已登出」
閉區間套成立的前提是實數域的完備性，換句話說要求任意柯西序列收斂，直觀的說就是沒有'洞'，有理數域它不是完備的，有理數域上柯西序列可能收斂到無理數，在有理數域上不存在極限。
8樓：閆嘉琦
直接回答：並不成立。
而實際上我們發現所謂的區間套定理是依賴於集合的拓撲的，對於一般的拓撲空間，我們可以把區間套定理推廣為：
令 是拓撲空間，一列單調遞減的非空緊緻閉集合套序列的交非空。
隨便取乙個 上的拓撲，比如離散拓撲，任何一列具有包含關係的非空有限點集都是這個意義下的「閉區間套」，此時自然是成立的。
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