1樓：劉醉白
可以用反證法，提供兩種思路
證明方法1：
或者這麼推，設非完全平方數k的算術平方根是有理數a/b所以k的算術平方根是整數，k是完全平方數，那麼矛盾。
證明方法2：
通過證明分數的平方是分數
參考：https://
zhuanlan /p/264854083
2樓：高等代數
1.首先，跟據合數的定義，和乘方定義可得，某數的開方必定是兩個相同因子之積，例如16=4×4，其中4,4是相同因子，而合數指的是構成某合數的因為<2，由集合的性質可得，某合數A，其因子可構成集合B=，則B中的元素是特徵性對應的，或某一元素是無任何元素與之特徵性對應的，則證明它是無理數，就證明，集合中有奇數個元素。
2.可以給定乙個反比例函式，y=A/x，A為合數，則證明該函式的導函式值存在-1，則A為有理數，如果不存
在-1，則是無理數，因為y=A/x的導函式為-A/x＾2當x=√A時導函式值為-1。
3.應用幾何原本中的反證法，例如12，
設√12=a/b
則有12=a^2/b^2
所以a^2=12b^2
此時可發現a^2為乙個偶數，則a為乙個偶數，此時可將a寫成2n的型式，則a^2=4n^2
4n^2=b^2
b此時又是乙個偶數，因為我們上文所設的ab兩數一定是互質的，和兩個偶數定有2這個公約數，此時矛盾，我們可得：12是有理數。是乙個假命題，則真命題就是無理數了。
（僅是個人想法，大佬們勿噴。）
3樓：劉添億
乙個比較容易理解的回答是用算術基本定理。
詳見：怎樣證明根號 3 是無理數？ - 閱千人而惜知己的回答 - 知乎 https://www.
zhihu.com/question/20485843/answer/762443030大意是說，正整數可以分解為素數的乘積，這個分解是唯一的。
如果 ，（p和q是互質整數，q不是1），即 。
的因數的指數必然是偶數。
如果n不是整數的平方， 的一些因數的指數會是奇數，於是會有矛盾。
只有n為整數平方時， 才能有不為1的整數解。
也就是說， 要麼是整數，要麼是無理數。
4樓：予一人
對於任何乙個非負整數，只要它不是完全平方數，其平方根必定是無理數。
考慮利用反證法。設 不是完全平方數，並反設 是有理數，則必可求得互素的正整數 使得 亦即 既然 互素，則依 定理，存在整數 使得 於是 這表明 直接違反 不是完全平方數的假定。
5樓：
4是合數，這說明你不會準確描述自己的問題。(正確的提問如：為什麼有些合數的開方不是有理數？如何找出所有開方不是有理數的合數？)
至於你其實想問的問題，同樣無窮遞降法便可(也可以是你提到的那個反證所用到的原理)。
至於你簡介說自己THU直博畢業，我突然有點懷疑，博士這點推廣的能力應該是有的。
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