有理數集和整數集的元素個數相同，那小數去哪了

1樓：

的確可以構造的乙個雙射，然後我們以後所有用到的有理數全部用整數表示。

但你不嫌麻煩麼？

不用現在的有理數表達會讓很多式子變的特別奇怪

2樓：達達

題主已經是高中生了，在此預設高中生都學了必修一裡面的集合，有了集合的基本概念，理解起這個問題就比較容易了。

在考慮這個問題之前，我們先明確一下，什麼叫做兩種數一樣多。

我們知道，不論是全體整數還是全體實數，還是全體有理數，都是乙個集合，其中有無窮多個元素。我們引入「勢」來判定兩個集合是否一樣大小。顯然，含有有限個元素個數的集合只需數出具體個數，就能知道是不是等勢的，但無窮多元素的集合，就不那麼容易判斷了。

在此我們可以做乙個定義，使得勢的概念在有限集合和無限集合中通用：

設A,B是兩個集合，如果存在A到B的乙個雙射，則稱這兩個集合是等勢的。

題主問題描述中說明了，有理數集和整數集存在一種一一對應的關係，所以有理數和整數是等勢的。但並不能因此說它們倆之間的元素個數是一樣的，比較兩個無窮大的數並沒有意義。

同樣我們用勢的概念舉個例子。

這裡有乙個問題。我們知道，圓和直線都是點的集合。乙個圓和一條直線究竟誰包含的點更多呢？

在這裡我們引入乙個變換「反演變換」。定義如下：

若給定平面內一點O和常數k，則對平面內某點A都有一點A'使得向量OA,OA'滿足OA·OA'=k。則稱A經過以O為圓心k為半徑反演圓的反演變換後，變成了A'。我們作如圖的變換，使一條直線作對紅色大圓的反演變換，容易證明結果是乙個小圓。

這說明直線上的每一點A都存在小圓上的A'與之對應，於是直線的點集與圓的點集是等勢的。當然，如果你要問圓和直線哪個長，那必然是直線長，因為直線是無限長的而圓是有固定周長的。