1樓：「已登出」
這類問題實在是推薦得太多太多了，我都快自閉了。
但我終於決定好好解答一下。
首先擺結論，從數學上講，比較多少的標準是存在雙射，也就是又滿又單的對映，這樣子的就認為是「等勢」，就是數學上的一樣多。
但核心問題不是說擺出乙個數學定義就能解決的，要知道為什麼要這樣做。
你題目解釋裡給出的實際上翻譯成數學語言如下：
1 我找到了從正整數集到自然數集的單射，我覺得這樣就是自然數集多
2 我找到了從正整數集到自然數集的滿射，或者說，自然數集到正整數集的單射，所以我覺得就是正整數集多
我覺得很好，這樣子的確是符合直觀，所以我們如果按這種思路定義一下集合之間比較多少的原則，就會變成：
A比B多：存在B到A的單射
但是這樣就很有問題，因為這樣子就會導致集合A比集合B多，又可以B比集合A多。嚴格說來，如果這樣創造了定義，是可以的，但這是乙個不好的模型。因為我們希望比較大小能具有三歧性（也就是任給a，b，a大於b，a等於b，a小於b三者發生且僅發生乙個），這樣子就沒有三歧性，也沒辦法定義序關係。
這說明這樣子的定義沒有達到我們預期的結果。這樣子的定義就很沒有實際意義。
所以才會在反覆思考推敲之後，誕生了偉大的Cantor，給出了現今等勢的定義。這個定義同樣符合我們的直覺，就是把兩堆東西配對起來，如果不重複也不遺漏，那就是一樣多。相比之前那個定義，這個定義不僅同樣貼合直覺，而且可以得出更多的理論，有確切的價值。
所以我們才會這樣子定義，一直用到現在，甚至未來很長一段時間。
比如，同樣是存在B到A的單射，我們就認為A不小於B，相當於把嚴格大於號改成大於等於號，這樣我們期待一件事情：
如果存在A到B的單射和B到A的單射，那麼存在A到B的雙射
翻譯成類似於實數比較大小的話：
如果B大於等於A，A大於等於B，那麼A等於B
實際上這就是集合論裡的一條著名基本定理，可以證明這件事情。這就說明了我們這樣子的定義確實更加合理。
下定義，要滿足很多條件（以下是我瞎bb），比如具有可推進的空間，滿足現有需求，能夠操作，其次乙個要求就是盡可能符合直覺。你所說的方案就違反了第一條。
來自學渣的發言，請大佬賜教
2樓：大漠孤鹽
樓主設想的情形當年希爾波特也想過，於是他提出了乙個有趣的旅館問題：如果乙個旅館有無窮個房間，但是都住滿了。這時新來了乙個客人，請問能住下麼？
答案是能的，我們只要讓每乙個房間的人往後挪乙個房間，第乙個房間就空出來了。
同樣，來無窮多個客人也可以，我們讓第n個客人搬到2n號房間去，就有無窮多個房間空出來了。
由上面這個例子，我們可以看出，對於乙個無窮集合來說，只要這個集合的是可數的（如自然數，正整數，全體奇數），那麼我們可以認為他們大小相同，即等勢。
勢就是乙個集合的大小，對於有限集合來說，它就是元素個數。對於無限集合來說它們都是「無窮大」，然而這些「無窮大」之間我們也是可以比較大小的。
只要我們能找到乙個一一對映，那麼我們就認為兩個集合的勢相等，即它們是「一樣多」的。
而無窮集合中，勢最小的就是類似全體自然數這樣的可數集合。這樣的集合我們稱之為可數無限集。而其他所有不可數集（如全體無理數，全體實數）的勢都比可數無限集大。
總結一下，對於集合的勢：有限集《可數無限集《不可數集。
換句話來說，可數無限集的基數，即可數無窮，是所有無窮大裡面最小的。
（可數無窮
延伸思考：有理數集也是可數集，也是和自然數集等勢的，這個一一對映如何構造？
3樓：執悲今厄
超實數可以解決你的問題：
l*∞∧m+k*∞∧n＝∞∧n，其中m＜n，m.n.k.l為任意實數，並規定R＝R*∞∧0
自然數數量＝1+∞∧1
正整數數量＝∞∧1
你的問題就相當於是：1+∞∧1是否等於∞∧1。
答案是等於。此時l.m.k.n的值分別是1.0.1.1。
你的延伸問題就相當於是問：2+∞∧1是否等於∞∧1。
答案也是等於，此時l.m.k.n的值分別是2.0.1.1。
低階量不影響高階無窮的值。
4樓：Kaguyah
說一樣多說明能找到乙個一一對應的構造，而不是找到乙個非一一對應的構造說明他們不一樣多，除非對於所有可能的構造無法形成一一對應。
5樓：
按有限集合的「多」及其相關性質來看，正整數集和自然數集無法比較多少，強行比較必然出現矛盾。
當我們說「正整數和自然數一樣多」的時候，我們採用的是集合論中「多少」的定義，即「等勢」：稱兩個集合 A 和 B 等勢，當且僅當存在A到B的一一對映。 也就是只要存在乙個對映，那就算等勢，不要求所有對映方式總是一一的。
只有當A能被對映成B的子集，且不存在A到B的一一對映的時候，我們才說B比A多（B的勢比A大）。
證明等勢靠的是構造，證明不等勢靠的是反證法。
這樣定義之後，正整數和自然數、有理數、負有理數等等都是等勢的（與正整數集等勢的集合被稱為可數無窮集）。而不等勢的最典型例子就是正整數集不與實數集等勢（即實數集是不可數無窮集）。證明都可以在網上查到。
集合論裡著名的連續統假設意思就是：如果實數集的乙個無窮子集不與實數集等勢，那麼它一定是可數無窮集。
如何用C實現乙個將整數分解成連續自然數的函式？
王超 來個易懂的，不過不夠快 注 i連續加到j所得和為 i j j i 1 2 即首尾項之和乘以個數除以2 include intmain int argc const char argv return0 余天公升 yskin 數學問題全部丟給計算機算是不對的啊。include include in...
如何反對同學這樣解釋無理數和有理數一樣多？
radonfang 在下想的乙個比較奇葩的思路，也很通俗，閣下或可一試。任何有理數都可以表示為兩個整數m和n的比值，即m n，那麼它們之間的最小間隔為m 1 n，且有理數加無理數等於另乙個無理數。那麼m 任意小於1的無理數 n必然大於m n，即可證明無理數較多。 thehand 反駁不了。按你同學的...
請問（0，1）和（1， ）之間的數一樣多嗎？
StupidBoat 要說明一樣多，相當於說明這兩個區間的所有元素能建立乙個一一對映這事情簡單，考慮函式tanx定義在 pi 2,pi 2 上的一段，經過一定的平移和伸縮，肯定能讓新的函式定義在 0，1 上，又值域為R，我們再取個函式e x 1,把R映到 1，正無窮 上，這些函式都是嚴格單調的，肯定...