1樓：
提供乙個 收斂的證明
設 可以驗證 是遞減的，因為
於是 ， 是有界的
又由於 是遞增的
從而 收斂
類似的思路可以證明當 時 收斂
設 可以驗證是遞減的，於是 ， 是有界的
又由於 是遞增的
從而 收斂
2樓：
這個不多談，關於它的證明起碼有幾十種
如：巴塞爾問題(Basel problem)的多種解法--怎麼計算$\frac+\frac+\frac+\cdots$ ? - 御阪01034 - 部落格園
如何求證：無窮級數∑1/i=π/6，求方法？
如果不要證明
只要證明 收斂的話，那更簡單，用中學數學的放縮法就行
發散也好證明，比如：
高數課本裡的那個經典方法：
1+\frac+\frac+\frac+\frac+\frac+\frac+\frac+\cdots\\ &&=1+\frac+\frac+\cdots \end" eeimg="1"/>
當然發散
利用不等式
可得 利用Cauchy積分判別法，可得到 發散
實際上 與 是同斂散的
之前的Cauchy積分判別法實際上就是拿調和級數的部分和與 做比較
但是還是有別的方法來得到這個序關係的，例如：
利用Lagrange中值定理，對於函式
， （ 0" eeimg="1"/>）
在區間 上，由Lagrange定理，存在
顯然 在 上是連續且單調遞減的，所以
證明了 ，就可以得到
這樣可以得到
或者建構函式 0" eeimg="1"/>（ 0" eeimg="1"/>），可以得到 \ln\left( 1+\frac \right)" eeimg="1"/>
同樣可以得到 \ln\left( 1+n \right)" eeimg="1"/>
建構函式的方法還有很多，但這個是最簡單的，不再講其他的了
這是中學數學最常用的方法
注意到存在正數 ，對任意正整數 ，存在 N" eeimg="1"/>
\frac=\frac" eeimg="1"/>
由Cauchy準則，可得到 發散
至於為什麼二者斂散性不同，那也可以用Cauchy積分判別法解釋
所謂Cauchy積分判別法，原理是根據
（ 在 上是非負減函式）
由此可得
級數 與廣義積分 具有相同的斂散性
的斂散性與 相同
而 是我們很熟悉的：
（ 1" eeimg="1"/>）
（ ）所以……
3樓：魚我所欲也
這個問題其實很簡單。當然我這麼說題主可能會有疑問。我猜題主可能對級數感興趣但是可能並沒有繼續往後面的理論看。否則應該就不會有這個疑問了
其實數學家們研究無窮積分就是先從無窮級數開始的當我們在學習無窮積分的時候，常常需要判斷乙個無窮積分是否發散。為此常常需要用到各種判別法。並且會接觸到兩個特別的例子，這將是許多判別法的基礎。
這兩個積分分別是
1)" eeimg="1"/>
而 因此， 這與是一致的
而 則是與上面 1" eeimg="1"/>的情況對應並且不僅僅是平方是收斂的。事實上，只要分母n上的指數比1大就行了1,a\in R)" eeimg="1"/>以上為原回答，補充更新如下
有讚嗎？
4樓：鵪鶉
樓主你是不是想問：為什麼在就發散，在1" eeimg="1"/>就收斂呢？
把它展開，拉出所有第項——
我不是只加這幾項！省略號也是算的！當的時候，
括號裡面是個等比數列，，公比，所以最後就發散咯。
當1" eeimg="1"/>的時候，
還是剛才那個等比數列，因為1" eeimg="1"/>，公比，所以最後就收斂咯。
5樓：
考慮函式，
當的時候，這個函式的影象是乙個水平線，與x軸永遠保持1的距離。
但只要0" eeimg="1"/>，哪怕只比0多了一點點點，但只要有這麼一點點，在時就會有。
大概和題主問的問題是乙個意思。
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