1樓：天下無難課
補2.本答有點答非所問。不過還是有相關性的。
補1：向量在矩陣裡按行排還是按列排不是關鍵，關鍵是初等變換只能對每個向量同時進行，做一樣的處理(對每個向量同維的元素，數乘同樣的數字，做同樣的隔行加運算)。而不能單獨對乙個向量做初等變換。
這樣，若向量是按列排放的，就只做行的初等變換，若向量是按行排列的，只要約定了，也行，但就只能做列的初等變換了。總之，你不能隨便做，一會行，一會列的。
從等式上看，對Ax=b，若對行做初等變換，雖然A和b都被改變了，但等式還是成立的，因為每次操作，兩邊對應的行還是乘了相同的數，加了相同的行。但若對A裡的某列做初等變換，就是只對等式一側做加和乘，等式就不成立了，這個事在解線性方程組的時候就知道的吧。在做消元法(初等變換)時，你必須乙個方程(等式)兩邊乘同樣的數，或乙個方程(等式兩邊)同時加到另乙個方程上去，這就是線代裡對(增廣)矩陣行的行初等變換，你不能對等式一側的某個列(跨方程同列係數)做數乘或加減，那樣，等式就不平了。
如果你的方程組是豎立寫的，等式是朝天的，那你就必須只做「列變換了。
問題的核心不在你如何在矩陣中排放向量(按列還是行)，而是「初等變換」所有的運算只能在向量內部發生，你看起來是在做行的初等變換，但所有的真實計算都在向量內部，「行變換」是每個列向量(向量按列排放)同時做內部運算的一種外觀現象。
原答：向量是陣列，幾個數字擺成一行還是一列，都是這個陣列，都行的，或有書寫上的方便程度的差別，沒原理上的差別，約定俗成就好。但若遇到有原理性差別的，就不能隨便了。
那麼，在向量組組合出乙個新的向量過程中，向量擺成行或列有原理性的差別麼？我們來看一下。
假設有乙個向量組A(a…a)，若用它來線性組合成乙個新向量b，這個組合的一般公式是:
b=xa+…+xa (1)
其中x…x是組合用的係數(是乙個乙個的數字)，a和b都是向量。若把係數也寫成向量的形式，則上式為：
b=(a,a,…a)x (2)
在這個式子裡，每乙個字母都代表乙個向量。這個關係都認吧？這裡，向量b和a的表達還都不涉及寫成豎版的(列向量)，還是寫成橫版的(行向量)，你說它們是行向量或列向量，都行的。
但有一點不能搞混，即每個係數只與它對應的那個向量進行數乘。
把這個式子再簡化為一般的矩陣表示式，就是：
b=Ax ，或寫成Ax=b (3)
在這個矩陣裡，我們乾脆看不出裡面還有列與行的區別了，但是，根據先人們約定的做法，我們知道，在A裡面，每組豎排的數字是形成的列向量就是我們之前在公式(1)和(2)裡的向量組裡的向量a…a，而「行向量」就是把這些向量的同一維度的數字重新打包，並「視為」乙個陣列(向量)。這兩類向量在性質上是有根本差異的，而不只是橫排或豎排擺放上的差別。
下面扯關鍵的事了，在這樣的擺放約定下，你就只能按行來「初等變換」，而不能對列來做。為啥是這樣呢？
各位請看，在Ax=b中，我們若按行來對A做數乘(一行裡的元素都成乘同樣的數字)，或一起加到領一行去，這時我們在做什麼？我們是在對這個向量組的每乙個向量(包括b)按同樣的規則(對同樣維度的元素，用同樣的乘數，做同樣的運算)，這樣的同步改變的結果最後形成了一組新的向量，這組新向量與原來的向量都不同了，A變成了A'(a',…a')，b變成了b'。但在A和A'裡，向量排列的順序沒變，這些向量與係數數乘的順序沒變，原來是xa,…xa，現在是xa',…xa了。
在矩陣表達上，原來的表示式(3)，現在是:
A'x=b' (4)
同樣一組係數(向量x)代入到兩個式子裡，等式都成立。
為啥要費勁用初等變換法把A和b搞成A'和b'呢？就是因為這樣搞出的A'有乙個特別的「三角」或「梯形」形式，在這種形式下，你能得到x=b'的等式，你就知道x是多少了，然後順藤摸瓜，你就能把x…x都簡單計算出來了，而用A，你就算不出來。
這個A'與A是不同的，但這樣得到的A'與A之間有乙個特別的關係，就是「等價」，而b'又是按照同樣的規則(乘數和運算過程)從b獲得的，這兩個等價的矩陣與它們配對的新向量之間，都可用同一組係數(向量x)組合出來，從A',b'求得的x與Ax=b裡的x是相同的。
假設你對A按列來動手腳，你把a乘乙個數，這時，你就單獨改變了這個要用來組合成乙個新向量的向量組裡的乙個向量，經過這種對列向量的操作，你就每次改變了乙個向量，最後的結果是A與A'不僅不同，而且沒有行變換後得到的那種等價關係，當然也就不可能用同一組係數(向量x)使得(3)與(4)同時成立了，你就沒法用「初等變換」來求出x了。
綜述：1.向量展開是，數字是排成行還是列，本來是無所謂，大家約定就好。
2.現在的約定是在矩陣裡，向量組的向量按列排放，「行向量」就只是對不同向量裡同乙個維度的數字(元素)的乙個叫法，但絕不是那個要用來組合新向量的那些向量，列向量(原來向量組裡的向量)與「行向量(假裝則也是乙個向量)」在性質上完全不是一回事。
3.按行對(列)向量組做初等變換，我們是就按同樣的規則同時改變了這個向量組裡的所有向量，結果得到乙個與原來向量組不同，但是等價的新向量組。用這個等價的新向量組和配對的向量b'，我們就能求出x。
4.對向量組(矩陣)A按列(向量)操作「初等變換」，得到的A'與A就沒有這樣的等價關係，從過程看，也得不到x=b'的等式，求出x也就萬萬做不到的了。
動「行」還是動「列」，差大了。
2樓：AlfredTG
為什麼要豎著放，其實沒有為啥，橫豎怎麼放都行，只不過豎著放第一看著順眼，第二可以構造方程組Ax=0，便與齊次方程組的求解聯絡了起來，之後便可以對係數矩陣A進行研究。
為什麼豎著排不能做列變換，如果單純求矩陣的秩的話，是可以做列變換的，因為r(A)=rr(A)=rc(A)。但當題目需要求解列向量的極大線性無關組時，那就不能做列變換（列與列之間的交換與倍加），假如你進行了列互換，那麼變換後得到的矩陣的非零列對應原矩陣的哪些列向量你不知道（當然你可以自己記）；如果你進行了列的倍加，那麼變換完得到的矩陣的非零列中的每一列都是原矩陣很多列向量倍加的結果，就不能說極大線性無關組就是你得到的那幾個非零列對應的列向量（當然你可以提前感知列向量的極大線性無關組，就只用那幾列去倍加），我是這麼理解的，你可以找個矩陣分別做一下行列變換看看過程和結果。
3樓：小哲123
列變化不行，這樣會改變向量的線性相關性，行變換不會改變向量的相關性。具體證明在網上找了半天才找到乙個好理解的證明https://
4樓：冰凌
最近在琢磨這個問題，剛剛想到
是根據對應分量不成比例的第一列的x1/x2/x3 != 第二列的x1/x2/x3
所以進行行變不改變不同向量的數量關係
怎麼求極大線性無關組？
丕學 在學習的過程中突發奇想 書上定義是指在一組線性無關的向量組如果再增加乙個向量後 同維，任意 向量組變成線性相關，那麼這個線性無關組就是乙個極大線性無關組。那麼反過來思考，如果乙個線性相關的向量組去掉乙個向量後變成線性無關的向量組，那麼這個線性無關的向量組就可以視為乙個極大的線性無關組？因此可以...
線性空間的「基」和向量組的「極大無關組」是不是乙個概念？
興隆山划水王 從姚慕生高等代數的這本書的觀點來說，可以認為是乙個概念，一組基就是乙個線性空間的極大無關組 原本極大無關組的定義是針對向量族去說的，不過這裡把線性空間看成了乙個向量族 向量族就是一組向量，可以有限個，可以無限個 我啥也不太懂 不是乙個。概念，作用都有區別。首先要明白基的作用 即，基可以...
線性無關的向量組增加分量後依然線性無關，那如果增加的分量全為0，這個向量組不是線性相關了嗎？
你可以這麼想，如果兩個二維向量無關，它們就不共線，它們組成的向量組 矩陣 就是秩2的。這時，你把它們公升維成三維向量，但在新的數軸上座標值為零，這時它們就共線了麼？沒有麼，它們還是不共線，它們之間還是線性無關的，它們組成的向量組還是秩2的。你再加乙個維數，該維數上數值也為零，這兩個4維向量就共線了麼...